¿Qué axiomas de ZF requiere el argumento diagonal de Cantor? El argumento diagonal de Cantor se presenta a menudo sin referencia a ninguno de los axiomas de ZF, de ahí mi pregunta.
Para esta pregunta, me limitaré al ámbito de la incontabilidad del conjunto de los números reales.
El axioma principal es Separación : dada una fórmula $\varphi$ con parámetros y un conjunto $x$ La colección de $y\in x$ satisfaciendo $\varphi$ es un conjunto. (El conjunto $x$ aquí es crucial - si quisiéramos la colección de todos los $y$ tal que $\varphi(y)$ es un conjunto, esto llevaría a una contradicción a través de la paradoja de Russell).
La forma de aplicarlo es la siguiente: supongamos que $f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$ . Aplicamos la separación a $\mathbb{N}$ : dejar $\varphi(x)$ sea la fórmula " $x\not\in f(x)$ ". (Tenga en cuenta que esto utiliza $f$ como parámetro). Aplicado a $\mathbb{N}$ Esto da un conjunto $A$ que no puede estar en el rango de $f$ , ya que $A=f(n)$ implica $n\in A\iff n\not\in f(n)\iff n\not\in A$ .
Por cierto, esto hace no requieren que $\mathbb{R}$ existen como un conjunto. $\mathbb{R}$ es un clase definible aunque no sea un conjunto, y podemos formular el teorema de Cantor como "Para cualquier función con dominio $\mathbb{N}$ Hay un real no en el rango de la función". Así que Powerset no juega ningún papel aquí. Tampoco lo hace Reemplazar, ya que no necesitamos el rango de $f$ para ser un conjunto. El emparejamiento también es irrelevante -aunque la eliminación del emparejamiento significa que podríamos no tener funciones en absoluto, eso sólo hace que el resultado de Cantor sea vacuo. La Unión y la Fundación no aparecen en absoluto, y -quizá sorprendentemente- tampoco utilizamos la Extensionalidad: sólo necesitamos el converse que dos conjuntos iguales tienen los mismos elementos, y esto es una consecuencia de las solas leyes de la lógica de primer orden.
Sin embargo, si quieres que el teorema exista en el contexto adecuado entonces hay que asumir Powerset, Pairing y Extensionalidad - Extensionalidad para que los conjuntos signifiquen lo que deben, y Powerset y Pairing para que $\mathbb{R}$ y algunas funciones existen en primer lugar.
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