Resuelve para la ecuación$y^3=x^3+8x^2-6x+8$ para enteros positivos x e y.
Mi intento-$$y^3=x^3+8x^2-6x+8$ $$$\implies y^3-x^3=8x^2-6x+8$ $$$\implies (y-x)(y^2+x^2+xy)=8x^2-6x+8$ $
Ahora, si somos capaces de factorizar$8x^2-6x+8$, entonces podemos comparar LHS con RHS. ¿Estoy en el camino correcto? Por favor, ayuda.
Ya que tenemos$$y^3-x^3=2(4x^2-3x+4)$ $ existe un entero$k$ tal que$$y-x=2k\iff y=x+2k.$ $ Entonces, tenemos$$(x+2k)^2-x^3=2(4x^2-3x+4)\iff (3 k-4) x^2+(6 k^2+3) x+4k^3-4=0\tag1$ $ Ahora tenemos$$D=(6k^2+3)^2-4(3k-4)(4k^3-4)\ge 0\iff -12 k^4+64 k^3+36 k^2+48 k-55\ge 0$$$$ \ iff 12 k ^ 4-64 k ^ 3-36 k ^ 2-48 k +55 \ le 0 $$
Aquí, vamos a$f(k)=12 k^4-64 k^3-36 k^2-48 k+55=4k[k\{k(3k-16)-9\}-12]$.
Ahora, para$k\ge 6$, tenemos$$3k-16\ge 2\Rightarrow k(3k-16)\ge 2k\ge 12$$$$ \ Rightarrow k \ {k (3k-16) -9 \} - 12 \ ge 3k-12 \ gt 0 \ Rightarrow f ( k) \ gt 0. $$
Además, para$k\le -1$, tenemos$$f(k)=12 k^4-36k^2(k+1) -48 k+55-28k^3\gt 0.$ $
Por lo tanto, tenemos$k=0,1,2,3,4,5.$
Luego, desde$(1)$, puede encontrar raíces enteras$x$ para cada$k$.
Usando la observación inteligente de la desigualdad de Gerry Myerson, tenemos dos posibilidades.
Caso 1: $y=x+1$. Luego, por sustitución y simplificación, debemos resolver$$5x^2-9x+7=0,$ $ que no tiene soluciones enteras, como se ve mediante el uso de la ecuación cuadrática.
Caso 2:$y=x+2$. Esto genera el% [%]$$2x(x-9)=0.$ #% evidentemente [factorizado], las únicas dos soluciones enteras son$x=0$ y$x=9$, dando como resultado las soluciones$(x,y)=(0,2)$ y$(x,y)=(9,11)$.
No hay otras soluciones.
Tenemos
$y^3 − (x + 1)^3 = x^3 + 8x^2 − 6x + 8 − (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 5x^2 − 9x + 7$.
Considere la ecuación cuadrática
$5x^2 − 9x + 7 = 0$.
El discriminante de esta ecuación es
$D = 92 − 4 × 5 × 7 = −59 < 0$ y por lo tanto la expresión $5x^2 − 9x + 7$ es positiva para todos los valores reales de x.
Llegamos a la conclusión de que $(x + 1)^3 < y^3$ y, por tanto,$x + 1 < y$.
Por otro lado tenemos
$(x + 3)^3 − y^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 − (x^3 + 8x^2 − 6x + 8) = x^2 + 33x + 19 > 0$ para todos los positivos $x$.
Llegamos a la conclusión de que $y < x + 3$.
Por lo tanto debemos tener $y = x + 2$. Poniendo este valor de y, obtenemos $0 = y^3 − (x + 2)^3 = x^3 + 8x^2 − 6x + 8 − (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) = 2x^2 − 18x$.
Llegamos a la conclusión de que $x = 0$ $y = 2$ o $x = 9$ $y = 11$
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