Teorema del punto fijo algebraico

Question

Me preguntaba si existen algunos teoremas "algebraicos" de punto fijo, en teoría de grupos.

Más concretamente, dado un grupo $G$ y un morfismo de grupo $f : G \to G$ ¿Qué condiciones hay en $G$ y $f$ debemos exigir, para que $f$ tiene un punto fijo no trivial (es decir $\exists x \neq 1_G, f(x)=x$ ) ?

Aquí están mis pensamientos :

1. Esta "condición de punto fijo no trivial" es a veces una condición fuerte. Por ejemplo, si $G = \mathbb Z$ entonces el único $f \in \text{Hom}(G,G)$ para tener un punto fijo no trivial es la identidad.

2. El conjunto de puntos fijos $\{y \in G \mid f(y)=y\}$ es un subgrupo de $G$ .

3. Dejemos que $G = \mathbb Z / n\mathbb Z$ . Supongamos que $n=ab$ con $a,b>1$ . Si $f([1]_n) = [a+1]_n$ entonces $f$ tiene un punto fijo no trivial, a saber $x=[b]_n$ .

4. Esta cuestión puede ser "artificial"; no sé si un morfismo con un punto fijo no trivial puede ser útil en otros contextos...

5. No veo una forma natural de convertir este problema en un problema de "acción de grupo" (para obtener algunos resultados sobre puntos fijos). He intentado $G \curvearrowright \text{Im}(f)$ definiendo $g \bullet f(x) := f(g)f(x) = f(gx)$ pero esto no parece ayudar...

Gracias de antemano.

Answer 1

El único teorema de punto fijo que involucra a los grupos finitos que conozco es el siguiente:

$p$ -teorema del punto fijo del grupo: Dejemos que $G$ sea un finito $p$ -que actúa sobre un conjunto finito $X$ . Entonces $|X^G| \cong |X| \bmod p$ . En particular, si $|X| \not \equiv 0 \bmod p$ entonces $G$ tiene un punto fijo.

Por ejemplo, aplicada a la acción de conjugación de un $p$ -sobre sí mismo, concluimos que dicho grupo tiene centro no trivial. Podemos obtener un enunciado de su forma pidiendo que $G$ es un $p$ -grupo y $f$ ha pedido un poder de $p$ .

Se dan otras aplicaciones aquí .