Explicación del álgebra lineal de la transformada wavelet

Question

¿Existe una forma fácil de explicar las ondículas/transformación wavelet utilizando únicamente el álgebra lineal?

La transformada discreta de Fourier es un operador lineal sobre $\mathbb C^N$ que simplemente cambia de base a una base especial, la "base discreta de Fourier". Cada $N$ raíz de la unidad $\omega$ nos da un vector base $v = \begin{bmatrix} 1 & \omega & \omega^2 & \cdots & \omega^{N-1} \end{bmatrix}^T$ . Es inmediato comprobar que $v$ es un vector propio del operador de desplazamiento cíclico $S$ con valor propio $1/\omega = \bar{\omega}$ . $S$ preserva las normas $\implies S$ es unitario $\implies S$ es normal ( $S^* S = S S^* = I$ ), por lo que los vectores propios correspondientes a distintos valores propios de $S$ son ortogonales. Por lo tanto, una vez que normalizamos tenemos una base ortonormal de vectores propios de $S$ .

¿Existe alguna explicación similar de álgebra lineal para las ondículas?

Answer 1

Los bancos de filtros Wavelet actúan sobre secuencias doblemente infinitas. Hay una división de bloques implicada, más comúnmente una división en bloques de 2, pero la transformada wavelet de orden superior combina valores de varios bloques para cada bloque del resultado.

Los bancos de filtros ortogonales de longitud 4, entre ellos la transformada wavelet D4, pueden estar compuestos por dos rotaciones en sentido de las agujas del reloj. Si la señal es

$(\dots,x_{-1},x_0,x_1,x_2,\dots)$ ,

entonces la primera rotación actúa sobre bloques Impares,

$\begin{pmatrix}x'_{2n-1}\\x'_{2n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{2n-1}\\x_{2n}\end{pmatrix}$ .

La segunda rotación actúa entonces sobre los bloques pares-Impares

$\begin{pmatrix}x''_{2n}\\x''_{2n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\beta&-\sin\beta\\\sin\beta&\cos\beta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x'_{2n}\\x'_{2n+1}\end{pmatrix}$ .

Debería ser evidente que estas operaciones preservan el producto escalar estándar en el espacio de la secuencia $\ell^2(\mathbb Z)$ ya que se conserva en cada bloque.

A continuación, la señal dos veces girada se divide para formar la parte media

$(\dots,x''_{-2},x''_0,x''_2,\dots)$

y la parte de diferencia o wavelet

$(\dots,x''_{-1},x''_1,x''_2,\dots)$ .

En el caso de D4, los ángulos se eligen de forma que, para una señal localmente lineal, la parte de la ondícula sea cero en esos lugares lineales.

Todas las transformadas wavelet discretas ortogonales pueden descomponerse en tales alternancias de desplazamientos y rotaciones de bloques, para la DWT general las rotaciones se sustituyen por matrices invertibles.