¿Qué es un haz de tangentes? (Aubin)

Question

Esto es lo que leí en Curso de geometría diferencial por Thierry Aubin.

2.5. Definición. El haz tangente $T(M)$ es $\bigcup_{P\in M} T_P(M).$

Y luego

2.6. Definición. Dejemos que $\Phi$ sea un mapa diferenciable de $M_n$ en $W_p$ (dos variedades diferenciables). Sea $P\in M_n,$ y establecer $Q=\Phi(P).$ El mapa $\Phi$ induce un mapa lineal $(\Phi_*)_P$ del haz tangente $T_P(M)$ en $T_Q(W)$ definido por $$[(\Phi_*)_PX](f)=X(f\circ\Phi);$$

aquí $X\in T_P(M),\;(\Phi_*)_PX\in T_Q(W)$ y $f$ es una función diferenciable en una vecindad $\theta$ de $Q.$ Llamamos $(\Phi_*)_P$ el mapeo lineal tangente de $\Phi$ en $P.$

No entiendo por qué el autor llama $T_P(M)$ un haz tangente en la segunda definición. ¿Es un error? Según la primera definición, un haz tangente es la unión de todos los espacios tangentes sobre todos los puntos de la variedad. Y $T_P(M)$ es sólo un espacio tangente, en un punto determinado $P$ .

Y una pregunta adicional: ¿Debería preocuparme si la unión en la primera definición es disjunta o no? Después de pensarlo un momento, creo que puede resultar que no lo sea según las definiciones anteriores.

Answer 1

La definición 2.6 tiene una errata; $(\Phi_\ast)_P$ es un mapa de espacios tangentes, no de haces tangentes (aunque todos los $(\Phi_\ast)_P$ se combinan para formar un mapa de haces entre haces tangentes).

El haz tangente es el disyuntiva unión de los espacios tangentes: $$TM = \coprod_{P \in M} T_P M.$$ Tiene la topología de un colector suave de la siguiente manera. Sea $(U_\alpha, \phi_\alpha)$ ser un atlas para $M$ y que $\pi: TM \longrightarrow M$ sea la proyección natural, es decir si $(P, v) \in T_P M \subset TM$ entonces $\pi(P, v) = P$ . Entonces tenemos un atlas $(\pi^{-1}(U_\alpha), \tilde{\phi}_\alpha)$ para $TM$ , donde $$\tilde{\phi}_\alpha(P, v) = (\phi_\alpha(P), v).$$

Answer 2

Comenzaré tratando de abordar la cuestión en el tema y la definición 2.5.

El haz tangente de una variedad diferenciable $M$ es la forma de organizar todos los espacios tangentes (puntuales) de $M$ en un objeto geométrico formal (de hecho, el haz tangente $T(M)$ resulta ser una colecta diferenciable por derecho propio). Cuando se aprende por primera vez el material, no me preocuparía demasiado por si se debe tener una unión disjunta o una unión en la definición formal; me preocuparía por lo que la definición está tratando de decir. Una forma de pensar en la definición $T(M)$ es que se trata de una familia de espacios vectoriales parametrizados por la colecta $M$ . En cada punto $P \in M$ , se obtiene un $n$ -espacio vectorial de dimensiones asociadas a $P$ . En este caso, el espacio vectorial asociado al punto $P$ es el espacio tangente $T_{P}M$ . En la terminología formal del "paquete", el espacio tangente $T_{P}M$ asociado a un punto $P \in M$ se llama fibra sobre $P$ .

En la definición 2.6, el autor trata de decir que un mapa diferenciable $\Phi : M \to W$ induce un mapeo $\Phi_{*} : T(M) \to T(W)$ que mapea la fibra sobre $P$ (es decir $T_{P}M$ ) a la fibra sobre la imagen de $P$ (es decir $T_{Q}W$ , donde $\Phi(P) = Q$ ). Parece que el uso de la palabra "haz tangente" en la definición 2.6 no es del todo correcto (o al menos, podría ser confuso). Tal vez algo parecido a lo siguiente funcionaría mejor:

. . . En cada $P \in M$ , $\Phi$ induce un mapeo lineal $(\Phi_{*})_{P}: T_{P}M \to T_{Q}W$ definido por, . . .

Sin embargo, hay que tener en cuenta que cuando se juntan todos los mapas de fibras, se obtiene un mapa lineal $\Phi_{*} : T(M) \to T(W)$ .

Existe una definición más general de un haz vectorial sobre una colecta $M$ de los cuales el haz tangente es el ejemplo prototípico. (Me parece que Spivak Introducción completa a la geometría diferencial (he olvidado qué volumen), o el de John Lee Introducción a los colectores suaves para ser bastante útil en estos asuntos).

Answer 3

Me parece que Aubin no está asumiendo que conozcas la definición general de bulto. Así que, estrictamente hablando, no puede hablar de un "mapa lineal de haces", sino de un mapa lineal de cada espacio tangente individual, y está tratando de suavizar ese punto. Sin embargo, diría que tienes razón en que está mal redactado. (La razón por la que no deberías preocuparte demasiado es que un mapa lineal de haces es más o menos un mapa lineal en cada espacio tangente por separado, con algunas condiciones de continuidad/diferenciabilidad añadidas que son más o menos automáticas en este caso).

Para tu pregunta adicional, definitivamente debes tomar la unión en la primera definición para que sea disjunta, o pasarán cosas malas. Si te hace sentir mejor, puedes pensar en $TM$ como si se tratara de pares ordenados $(p,v)$ donde $v \in T_p M$ .