sobre el límite de la representación finita de los armónicos

Question

Dejemos que $Y_n^j, \, -n\leq j \leq n$ sea un armónico esférico. Sea $f$ sea una función par en la esfera. Entonces, $f$ puede introducirse como $$ f=\sum_{j=-n}^A\hat f(j)Y_n^j, $$ donde $\sum_{j=-n}^A|a_j|>0$ y $A$ es el mayor número entero en $[-n, n]$ tal que $\hat f(A)\neq 0$ .

Ahora, consideremos el polinomio esférico (combinación finita de armónicos esféricos). Podemos simplemente tomar el grado de la función $f$ , digamos que $f^2$ $$ f^2=\sum_{j=-n}^A\hat f(j)^2(Y_n^j)^2+2\sum_{-n\leq j<l\leq A}\hat f(j)\hat f(l)Y_n^jY_n^l $$ Pregunta: el polinomio esférico es la combinación finita de los armónicos esféricos. ¿Se puede tomar el límite allí?

Answer 1

Sí, como anticipas, aunque el espíritu de "toda función puede representarse como una suma infinita de armónicos esféricos", hay problemas de convergencia, así como problemas con el significado de la multiplicación de dos sumas infinitas de funciones. Estas cuestiones ya se plantean (famosamente) en la esfera única y en la teoría de las series de Fourier.

Como caso claro y sencillo: si la función $f$ es suave entonces la suma infinita de los armónicos esféricos converge puntualmente de manera uniforme a ella, se puede diferenciar térmicamente, y todas las expansiones en serie infinitas de las derivadas convergen uniformemente puntualmente también. Y entonces es inmediato que la serie se puede elevar al cuadrado y expresar $f^2$ .

Del mismo modo, si $f$ es simplemente suficientemente diferenciable, su expresión infinita en armónicos esféricos converge (absolutamente) uniformemente de forma puntual, y se puede elevar al cuadrado como has indicado.

Los detalles sobre cuánta diferenciabilidad, de varios tipos, es suficiente son más complicados.

EDIT: Para las referencias del tratamiento riguroso: El viejo libro de Stein y Weiss "Introduction Fourier Analysis on Euclidean Spaces" tiene un capítulo que cubre muchas cuestiones de configuración sobre el tratamiento riguroso de los armónicos esféricos, incluyendo cosas como la estimación de las normas sup en términos de $L^2$ normas. Además, la página de Wikipedia sobre "armónicos esféricos" incluye varias observaciones sobre los argumentos de convergencia. Mis propios apuntes de cursos de introducción a las formas modulares (en http://www.math.umn.edu/~garrett/m/mfms/ ) incluyen algunos ensayos que tratan el $L^2$ La teoría de Sobolev, en el contexto del criterio de Weyl para la equidistribución en esferas: http://www.math.umn.edu/~garrett/m/mfms/notas_2014-15/09_esferas.pdf

Una afirmación básica sobre la convergencia mediante la teoría de Sobolev es la siguiente. Para una función de prueba $f$ en la esfera, y entero no negativo $k$ , $|f|^2_k=\langle (1-\Delta)^k f,f\rangle$ es el $k$ norma de Sobolev (al cuadrado). Sea $H^k$ sea la terminación de las funciones de prueba con respecto a esa norma. Entonces un teorema básico (no tan trivial) es que para $k>n/2$ el espacio $H^k$ se encuentra dentro del espacio de las funciones continuas, y la convergencia de las sumas parciales finitas de la expansión armónica esférica convergen uniformemente de forma puntual a la función.