$f$ acotado en$[a,b]$ con una o discontinuidades finitas implica$f$ Riemann-integrable.

Question

Tengo dos problemas:

Probar que si $f$ está delimitada en $[a, b]$ y tiene exactamente una discontinuidad en $[a, b]$ $f$ es Riemann-integrable en $[a, b]$.

Probar que si $f$ está delimitada en $[a, b]$ $f$ tiene sólo un número finito de discontinuidades en $[a, b]$ $f$ es Riemann-integrable en $[a, b]$.

Tengo una posible prueba de la primera, que me gustaría comprobar:

Teorema 6.1 los estados que $f$ es Riemann-integrable en $[a, b]$ fib dado cualquier $\varepsilon > 0$ existe una partición de $P$$[a, b]$$U(P, f) - L(P, f) < \varepsilon$.

Teorema 6.2 establece que si $f$ es continua en a $[a, b]$ entonces es Riemann-integrable en $[a, b]$.

Supongamos $f$ está delimitada en $[a, b]$. Entonces, por definición, no existe $M > 0$ tal que $\vert f(x) \vert \leq M$ todos los $x \in [a, b]$. Supongamos $f$ tiene exactamente una discontinuidad en $[a, b]$ es $c$. Sin pérdida de generalidad supongamos $c \in (a, b)$. Deje $\varepsilon > 0$. Elija $\delta > 0$ tal que $\displaystyle \delta = \frac{\varepsilon}{12M}$. Observar que $f$ es continua en a$[a, c - \delta]$$[c + \delta, b]$. Por el Teorema 6.2 $f$ es Riemann-integrable en $[a, c - \delta]$$[c + \delta, b]$. Por el Teorema 6.1 existe una partición de $P_1$$[a, c - \delta]$$U(P_1, f) - L(P_1, f) < \varepsilon/3$. De nuevo, por el Teorema 6.1 existe una partición de $P_2$$[c + \delta, b]$$U(P_2, f) - L(P_2, f) < \varepsilon/3$. Definir $P = P_1 \cup P_2$. Ahora observar que \begin{align*} U(P, f) &= U(P_1, f) + 2\delta \cdot \sup_{x \in [c - \delta, c+ \delta]} f(x) + U(P_2, f) \\ &\leq U(P_1, f) + 2\delta \cdot M + U(P_2, f) \end{align*} y \begin{align*} L(P, f) &= L(P_1, f) + 2\delta \cdot \inf_{x \in [c - \delta, c+ \delta]} f(x) + L(P_2, f)\\ & \geq L(P_1, f) + 2\delta \cdot (-M) + L(P_2, f) \end{align*} que se supone $$-L(P, f) \leq - L(P_1, f) + 2\delta \cdot M - L(P_2, f) $$ por lo tanto, tenemos \begin{align*} U(P, f) - L(P, f) &\leq U(P_1, f) + 2\delta \cdot M + U(P_2, f) - L(P_1, f) + 2\delta \cdot M - L(P_2, f)\\ &= \big[U(P_1, f) - L(P_1, f) \big] + 4 \delta \cdot M + \big[U(P_2, f) - L(P_2, f)\big]\\ &< \frac\varepsilon3 + 4M\frac{\varepsilon}{12M} + \frac\varepsilon3\\ &= \frac\varepsilon3 +\frac\varepsilon3 +\frac\varepsilon3 \\ &= \varepsilon \end{align*} Por lo tanto, por el Teorema 6.1 podemos concluir que $f$ es Riemann-integrable en $[a, b]$.

Mi pregunta concretamente es: ¿es suficiente para comprobar que el $c \in (a, b)$ o debo muestran de forma explícita que se mantiene cuando la discontinuidad es en los extremos?

Para el segundo problema, estoy pensando en el uso de la inducción en el primer problema, pero no he visto una inducción problema de hacer como que no sé cómo empezar. Cualquier empuje en la dirección correcta sería muy apreciada!

Answer 1

A partir de los comentarios a mi pregunta que he formulado mis propias pruebas. Si alguien puede confirmar su veracidad (especialmente en el segundo!) Les agradecería mucho!

Probar que si $f$ está delimitada en $[a, b]$ y tiene exactamente una discontinuidad en $[a, b]$ $f$ es Riemann-integrable en $[a, b]$.

Supongamos $f$ está delimitada en $[a, b]$. Entonces, por definición, no existe $M > 0$ tal que $\vert f(x) \vert \leq M$ todos los $x \in [a, b]$. Supongamos $f$ tiene exactamente una discontinuidad en $[a, b]$ es $c$. Supongamos $c \in (a, b)$. Deje $\varepsilon > 0$. Elija $\delta > 0$ tal que $\displaystyle \delta = \frac{\varepsilon}{12M}$ y también debemos restringir el delta tal que $a < c - \delta$$c + \delta < b$. Observar que $f$ es continua en a$[a, c - \delta]$$[c + \delta, b]$. Por el Teorema 6.2 $f$ es Riemann-integrable en $[a, c - \delta]$$[c + \delta, b]$. Por el Teorema 6.1 existe una partición de $P_1$$[a, c - \delta]$$U(P_1, f) - L(P_1, f) < \varepsilon/3$. De nuevo, por el Teorema 6.1 existe una partición de $P_2$$[c + \delta, b]$$U(P_2, f) - L(P_2, f) < \varepsilon/3$. Definir $P = P_1 \cup P_2$. Ahora observar que \begin{align*} U(P, f) &= U(P_1, f) + 2\delta \cdot \sup_{x \in [c - \delta, c+ \delta]} f(x) + U(P_2, f) \\ &\leq U(P_1, f) + 2\delta \cdot M + U(P_2, f) \end{align*} y \begin{align*} L(P, f) &= L(P_1, f) + 2\delta \cdot \inf_{x \in [c - \delta, c+ \delta]} f(x) + L(P_2, f)\\ & \geq L(P_1, f) + 2\delta \cdot (-M) + L(P_2, f) \end{align*} que se supone $$-L(P, f) \leq - L(P_1, f) + 2\delta \cdot M - L(P_2, f) $$ por lo tanto, tenemos \begin{align*} U(P, f) - L(P, f) &\leq U(P_1, f) + 2\delta \cdot M + U(P_2, f) - L(P_1, f) + 2\delta \cdot M - L(P_2, f)\\ &= \big[U(P_1, f) - L(P_1, f) \big] + 4 \delta \cdot M + \big[U(P_2, f) - L(P_2, f)\big]\\ &< \frac\varepsilon3 + 4M\frac{\varepsilon}{12M} + \frac\varepsilon3\\ &= \frac\varepsilon3 +\frac\varepsilon3 +\frac\varepsilon3 \\ &= \varepsilon \end{align*} Por lo tanto, por el Teorema 6.1 podemos concluir que $f$ es Riemann-integrable en $[a, b]$.

Ahora considere el $c = b$. Desde $f$ es acotado, existe $M > 0$ tal que $\vert f(x) \vert \leq M$ todos los $x \in [a, b]$. Deje $\varepsilon > 0$. Elija $\delta > 0$ tal que $\delta = \frac{\varepsilon}{4M}$ y debemos restringir el delta tal que $a < b - \delta$. Observar que $[a, b - \delta]$ es continua. Por el Teorema 6.2 $f$ es Riemann-integrable en $[a, b - \delta]$. Desde $f$ es Riemann-integrable en $[a, b - \delta]$, por el Teorema 6.1 existe una partición de $P_1$ $[a, b - \delta]$ tal que $U(P_1, f) - L(P_1, f) < \frac\varepsilon2$. Ahora consideremos la partición $P = P_1 \cup \{b\}$ y observar que $\displaystyle U(P, f) = U(P_1, f) + \delta \sup_{x \in [b - \delta, b]} f(x) \leq U(P_1, f) + \delta M$. También se $\displaystyle L(P, f) = L(P_1, f) + \delta \inf_{x \in [b - \delta, b]} f(x) \geq L(P_1, f) + \delta(- M)$ que es equivalente a $-L(P, f) \leq -L(P_1, f) + \delta M$. Así tenemos \begin{align*} U(P, f) - L(P, f)&\leq U(P_1, f) + \delta M -L(P_1, f) + \delta M\\ &= \big[U(P_1, f) - L(P_1, f) \big] + 2\delta M\\ &< \frac\varepsilon2 + 2M \frac{\varepsilon}{4M}\\ &= \frac\varepsilon2 + \frac\varepsilon2\\ &= \varepsilon \end{align*} Por lo tanto, por el Teorema 6.1 podemos concluir que $f$ es Riemann-integrable en $[a, b]$.

Ahora considere el $c = a$. Desde $f$ es acotado, existe $M > 0$ tal que $\vert f(x) \vert \leq M$ todos los $x \in [a, b]$. Deje $\varepsilon > 0$. Elija $\delta > 0$ tal que $\delta = \frac{\varepsilon}{4M}$ y debemos restringir el delta tal que $a + \delta < b$. Observar que $[a + \delta, b]$ es continua. Por el Teorema 6.2 $f$ es Riemann-integrable en $[a + \delta, b]$. Desde $f$ es Riemann-integrable en $[a + \delta, b]$, por el Teorema 6.1 existe una partición de $P_1$ $[a + \delta, b]$ tal que $U(P_1, f) - L(P_1, f) < \frac\varepsilon2$. Ahora consideremos la partición $P = P_1 \cup \{a\}$ y observar que $\displaystyle U(P, f) = U(P_1, f) + \delta \sup_{x \in [a, a + \delta]} f(x) \leq U(P_1, f) + \delta M$. También se $\displaystyle L(P, f) = L(P_1, f) + \delta \inf_{x \in [a, a + \delta]} f(x) \geq L(P_1, f) + \delta(- M)$ que es equivalente a $-L(P, f) \leq -L(P_1, f) + \delta M$. Así tenemos \begin{align*} U(P, f) - L(P, f)&\leq U(P_1, f) + \delta M -L(P_1, f) + \delta M\\ &= \big[U(P_1, f) - L(P_1, f) \big] + 2\delta M\\ &< \frac\varepsilon2 + 2M \frac{\varepsilon}{4M}\\ &= \frac\varepsilon2 + \frac\varepsilon2\\ &= \varepsilon \end{align*} Por lo tanto, por el Teorema 6.1 podemos concluir que $f$ es Riemann-integrable en $[a, b]$.

Probar que si $f$ está delimitada en $[a, b]$ $f$ tiene sólo un número finito de discontinuidades en $[a, b]$ $f$ es Riemann-integrable en $[a, b]$.

Vamos a probar esta usando el principio de inducción matemática. Observar que en el caso cuando hay una discontinuidad ya ha sido demostrado. Supongamos que $f$ está delimitada en $[a, b]$ $f$ $n$ discontinuidades en $[a, b]$ y supongamos $f$ es Riemann-integrable en $[a, b]$. Considere el caso en que $f$ está delimitada en $[a, b]$ $f$ $n + 1$ discontinuidades en $[a, b]$. Elegir el derecho de la mayoría de la discontinuidad y de la llamada es $c$. Elija $\delta > 0$ tal que $[a, c - \delta]$ $n$ discontinuidades. Por la hipótesis inductiva podemos concluir que $f$ es Riemann-integrable en $[a, c - \delta]$. Deje $\varepsilon > 0$. Desde $f$ es Riemann-integrable en $[a, c - \delta]$, por el Teorema 6.1, existe una partición de $P_1$$[a, c - \delta]$$U(P_1, f) - L(P_1, f) < \varepsilon/2$. Ahora observe que el $f$ está delimitada en $[c - \delta, b]$ y por la construcción sólo tiene una discontinuidad en $[c - \delta, b]$. Por el Ejercicio 6.5 podemos concluir que $f$ es Riemann-integrable en $[c - \delta, b]$. Desde $f$ es Riemann-integrable en $[c - \delta, b]$, por el Teorema 6.1, existe una partición de $P_2$ $[c - \delta, b]$ tal que $U(P_2, f) - L(P_2, f) < \varepsilon/2$. Ahora, considere el común de refinamiento $P = P_1 \cup P_2$ y observar que $U(P, f) - L(P, f) \leq U(P_1, f) + U(P_2, f) - L(P_1, f) - L(P_2, f) < \frac\varepsilon2 + \frac\varepsilon2 = \varepsilon$. Por lo tanto $f$ es Riemann integrable en $[a, b]$ contiene $n + 1$ discontinuidades. Por lo tanto, por el principio de inducción matemática hemos demostrado que si $f$ tiene un número finito de discontinuidades $n$ $[a, b]$ $f$ es Riemann-integrable en $[a, b]$.