Atascado en demostrar la existencia de $\operatorname{diam} E$

Question

He estado tratando de resolver este problema de HW, de Rosenlicht Introducción al análisis real (pág. 92, 15º problema):

Dado un espacio métrico compacto no vacío $E$ , demuestran que $\max\{d(x,y) \mid x,y \in E \}$ existe.

Había una pista proporcionada con el problema, pero no estoy seguro de cómo utilizarla (algo parecido a tratar de encontrar secuencias $p_n,q_n$ tal el $\lim \;d(p_n,q_n) = \sup\{d(p,q) \mid p,q \in E \}$ .

Supongo que mostrar que $\max\{d(x,y) \mid x,y \in E\}$ existe equivale a demostrar que $\{d(x,y) \mid x,y \in E\}$ es compacto. Intenté hacerlo definiendo la función $f_{p_0} = d(x,p_0)$ para algún punto $p_0 \in E$ . Desde $E$ es compacto, $f_{p_0}(E)$ será compacto, por tanto cerrado y acotado y tendrá un máximo. Puedo hacer esto sobre cada punto de $E$ . Pero, $E$ podría ser incontable, por lo que acabaré con un número incontable de funciones cuyas imágenes serían compactas, pero el máximo que busco estaría en la unión de todas las imágenes (cerradas y acotadas), que no tienen por qué ser cerradas ni acotadas. Por lo tanto, no estoy seguro de cómo proceder en este punto. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Sigue la pista, como un conjunto acotado, $\sup\{d(x,y) \mid x,y \in E \}$ existe, digamos $l=\sup\{d(x,y) \mid x,y \in E \}$ . Por una propiedad del supremum, hay $p_n,q_n$ secuencias en $E$ tal que $d(p_n,q_n) \to l$ . Desde $p_n$ y $q_n$ son secuencias en un espacio compacto, $p_n$ y $q_n$ tienen subsecuencias convergentes, digamos $p_{n_j}$ y $q_{n_j}$ , acercándose $p$ y $q$ respectivamente. Por supuesto $d(p_{n_j},q_{n_j})\to l$ y, por compacidad, $p,q \in E$ .

Answer 2

Otro enfoque consiste en demostrar que $E \times E$ es compacto, y que $d : E \times E \to \mathbb{R}$ es continua. Entonces $d(E \times E)$ es compacto, al ser la imagen continua de un conjunto compacto, por lo que debe contener su máximo. (Esto es básicamente el teorema del valor extremo).