Caracterización de la convergencia débil en $\ell_\infty$

Question

¿Existe alguna caracterización sencilla de la convergencia débil de las secuencias en el espacio $\ell_\infty$ ? En caso afirmativo, ¿hay alguna reclamación similar para las redes?

Sólo he podido llegar a una caracterización de la convergencia débil secuencial utilizando el límite a lo largo de los ultrafiltros, que describiré a continuación. Me pregunto si hay alguna idea de esta caracterización. (Por ejemplo, si existe alguna reformulación sencilla que no utilice ultralímites). Además, no sé si al menos esta caracterización funciona también para las redes.

Tenemos el siguiente resultado que describe la convergencia débil en $C(K)$ Véase, por ejemplo, el corolario 3.138, p.140 . (Es una consecuencia del teorema de Rainwater y de la caracterización de los puntos extremos de la bola unitaria en $C(K)$ .)

Dejemos que $K$ sea un espacio topológico compacto. Sea $\{f_n\}$ sea una secuencia acotada en $C(K)$ y $f\in C(K)$ . Entonces, si $f_n\to f$ en sentido estricto, tenemos $f_n\overset{w}\to f$ .

Además tenemos un isomorfismo isométrico entre $\ell_\infty$ y $C(\beta\mathbb N)$ que se describe, por ejemplo, en el artículo de Wikipedia sobre Compactación de la piedra o en Capítulo 15 del libro de Carothers Un curso corto sobre la teoría de los espacios de Banach.. Este isomorfismo asigna a cada secuencia acotada $(x_n)$ la función continua $\overline x$ en $\beta\mathbb N$ definido por $$\overline x(\mathscr U) = \operatorname{\mathscr U-lim} x_n,$$ donde $\operatorname{\mathscr U-lim} x_n$ denota el ultralímite de $x_n$ en relación con el ultrafiltro $\mathscr U$ .

Combinando los resultados anteriores obtenemos la siguiente caracterización:

Dejemos que $f^{(n)},f\in\ell_\infty$ . La secuencia $f^{(n)}$ converge a $f$ débilmente si y sólo si para cada ultrafiltro $\mathscr U$ $$\lim_{n\to\infty} \operatorname{\mathscr U-lim} f^{(n)}= \operatorname{\mathscr U-lim} f.$$

(La afirmación anterior para los ultrafiltros principales es sólo una convergencia puntual. Pero en la afirmación anterior la igualdad se requiere también para los ultrafiltros libres).

Answer 1

En la obra de Dunford y Schwartz Operadores lineales Parte 1: Teoría general (DS) hay una caracterización de las secuencias débilmente convergentes, que aparece en el punto IV.6.31:

DS IV.6.31 : En $\ell_\infty$ la secuencia $(f_n)$ converge a $f$ débilmente si y sólo si está acotado y, junto con cada subsecuencia, converge a $f$ de forma cuasi-uniforme.

En lo anterior, "cuasi-uniformemente convergente" significa: 1) convergencia puntual, y 2) para cada $n_0$ y cada $\epsilon>0$ existe un número finito de índices $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\ge n_0$ tal que para cada $m$ $$\min_{1\le i\le n}|f_{\alpha_i}(m)−f(m)|<ϵ.$$

En realidad, esta caracterización es para más general $B(S)$ espacios. Aquí $S$ es un conjunto arbitrario y $B(S)$ es el conjunto de todas las funciones escalares acotadas sobre $S$ equipado con la norma sup.

No estoy del todo seguro de que esto sea diferente en espíritu de su caracterización. Aquí hay un esquema de la prueba de IV.6.31:

En Dunford-Schwartz IV.6.19-20, el espacio $B(S)$ se identifica (con la ayuda del Teorema de Stone-Weierstrass) con una determinada $C(K)$ espacio con $K$ compacto (a saber $K$ es el conjunto de funciones continuas multiplicativas no nulas en la esfera unitaria cerrada de $\cal U^*$ , donde $\cal U$ es $B(S)$ considerada como un álgebra). Convergencia débil de secuencias en $B(S)$ se identifica con la convergencia débil de la secuencia correspondiente en $C(K)$ . Además, en la identificación de $B(S)$ con $C(K)$ , $S$ se identifica como un subconjunto denso de $K$ . El resultado IV.6.31 se desprende de su caracterización de la convergencia secuencial débil en un $C(K)$ y el punto IV.6.30 en DS:

DS IV.6.30 : Dejemos que $A$ sea un subconjunto denso de un espacio compacto de Hausdorff $S$ y supongamos que una secuencia $\{f_n\}$ de funciones continuas converge en cada punto de $A$ a un límite continuo $f_0$ . Entonces $\{f_n\}$ converge a $f_0$ en cada punto de $S$ si y sólo si $\{f_n\}$ y cada subsecuencia de $\{f_n\}$ converge a $f_0$ de forma cuasi-uniforme en $A$ .

Answer 2

$\newcommand{\Fin}{\mathrm{Fin}}\newcommand{\UU}{\mathscr U}{\newcommand{\Ulim}{\operatorname{\UU}-\lim}}\newcommand{\N}{\mathbb N}\newcommand{\Uilim}{\operatorname{\UU_i}-\lim}$ I intentaré mostrar aquí que la caracterización mediante ultrafiltros, que se describe en el texto de mi pregunta, no funciona para las redes. He intentado modificar respuesta de t.b. a una pregunta pregunta mía, en la que me mostraba que $C(0,1)$ no tiene una propiedad similar.

Necesitaré los siguientes datos sobre los ultrafiltros en $\N$ y los ultralímites de las secuencias:

• Si $A_1\cup\dots\cup A_k=\N$ y $\UU$ es un ultrafiltro, entonces uno de los conjuntos $A_1,\ldots,A_n$ pertenece a $\UU$ .
• Para cualquier ultrafiltro $\mathscr U$ y cualquier $A\subseteq\mathbb N$ tenemos $$\Ulim \chi_A= \begin{cases} 1 & A\in\UU, \\ 0 & A\notin\UU. \end{cases} $$ (donde $\chi_A$ denota el característica función del conjunto $A$ .)
• Existe una función lineal $L\in\ell_\infty^*$ tal que para cada secuencia $x$ que converge en Cesaro significa El valor de $L(x)$ es el mismo que el valor de la media de Cesaro. Por ejemplo, podemos obtener un ultrafiltro libre de fijación de este tipo $\UU$ y poniendo $$L \colon x \mapsto \Ulim \frac{x_1+\dots+x_n}n.$$

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Ahora dejemos que $\Fin$ es el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $\beta\N$ es decir, conjuntos finitos de ultrafiltros en $\N$ . Claramente, $(\Fin,\subseteq)$ es un conjunto dirigido.

Dejemos que $\UU_1,\ldots,\UU_n$ sean ultrafiltros. Definamos el conjunto $A_1,\dots,A_{2n}$ como los conjuntos de la forma $A_k=\{2un+k; u\in\N\}$ .

Ahora elegimos la mitad de ellos para ser $B_1,\dots,B_n$ de la siguiente manera: Desde $A_1\cup \dots \cup A_{2n}=\N$ uno de estos conjuntos pertenece a $\UU_1$ . Esto será $B_1$ .

Supongamos que $B_1,\ldots,B_{k-1}$ ya están elegidos. Hay al menos uno de los conjuntos $A_1,\dots,A_n$ que pertenece a $\UU_k$ . Si este conjunto ya fue elegido en uno de los pasos anteriores, entonces $B_k$ se puede tomar arbitrariamente de los conjuntos restantes. Si no, este conjunto será $B_k$ .

Ahora pon $B:=B_1\cup\dots\cup B_n$ y $x=\chi_B$ . Observe que $B\in\UU_i$ para $i=1,\dots,n$ . Así que tenemos $\Uilim x=1$ para cada $i$ .

También es fácil ver que la media de Cesaro es $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{x_1+\dots+x_n}n=\frac12$ y por lo tanto $L(x)=\frac12$ .

De esta manera hemos construido una secuencia acotada $x_F$ para cualquier conjunto finito $F$ de ultrafiltros. Así que tenemos una red $(x_F)_{F\in\Fin}$ .

Si fijamos un ultrafiltro arbitrario $\UU$ obtenemos $\Ulim x_F=1$ por cada $F\supseteq\{\UU\}$ . Así que la red $(\Ulim x_F)_{F\in\Fin}$ converge a $1=\Ulim \chi_{\N}$ . (Básicamente $\chi_{\N}$ es sólo un nombre elegante para la secuencia constante $(1,1,1,\dots)$ .)

Pero cada $L(\chi_F)$ es igual a $1/2$ y $L(\chi_{\N})=1$ por lo que esta red no converge a $\chi_{\N}$ débilmente.

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Como he mencionado, mi construcción es similar a esta respuesta de t.b. . En ambos casos trabajamos con algún espacio compacto $X$ . (Aquí $X=\beta\N$ y en su respuesta $X=[0,1]$ .) Intentamos encontrar un $\varphi\in C(K)^*$ junto con las funciones $f_F\in C(X)$ para cada subconjunto finito $F\subseteq X$ tal que:

• $f_F|_F=1$ es decir, $f_F(x)=1$ para cada $x\in F$ ;
• $\varphi(f_F)=\frac12$ para cada conjunto finito $F\subseteq X$ .

Si encontramos tal sistema de funciones, se puede utilizar el mismo contraejemplo para el espacio $C(X)$ .