Sobre productos internos, normas y métricas.

Question

Hacer estos tres tipos de espacios vectoriales, con un interior-producto, aquellos con una norma y aquellos con una métrica, son los mismos conjuntos de espacios vectoriales? Al menos para finito dimensionales espacios vectoriales todos estos coinciden?

Sería genial saber finito dimensionales ejemplos de lo contrario si existe y si alguien puede hacer un enlace a algunas notas de la conferencia de explicar este punto.

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Como hay ejemplos de producto interior espacios que no tienen una métrica métrica o espacios que no tienen una norma o varios otros posibles conflictos entre estas 3 propiedades.

Answer 1

Incluso en dimensión finita, la conversa no son verdad.

Por ejemplo, el $p$-norma ( $p≠2$ ) $\Bbb R^n$ no viene de un producto interior. Esto puede ser demostrado por la contradicción, usando la ley del paralelogramo o la polarización de la identidad. La polarización de la identidad $$2 \|x\|^2+2\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2 \qquad \forall x,y \in V$$ precisamente le da una condición necesaria y suficiente para que una normativa espacio vectorial $V$ tener un producto interior que induce a que la norma.

La métrica discreta en $\Bbb R$ no viene de una norma, porque sólo se tarda $0$ $1$ como valores. Si $d$ es una métrica que no es una norma $\|\cdot\|$$V$$d(x,y)=\|x-y\|, \; \forall x,y \in V$, una condición necesaria es que $$d(ax,0)=|a|d(x,0) \tag 1$$ for every $x \in V$ and $\en \Bbb R$. Conversely, if the metric $d$ satisfies $(1)$, then $\|x\|:=d(x,0)$ yields a norm on $V$.

También puede ver esta pregunta.

Answer 2

Tome $X=\mathbb R^n$ y equiparlo con la topología inducida por la distanciade la función $$ {\rm d}(x,y) = \begin{cases} 0 &\text{if } x=y\\1&\text{if }x\neq y\end{casos} $$ A continuación, $X$ es un espacio métrico, específicamente el discreto espacio métrico (en el que todos los puntos son aislados) Sin embargo, $(X,{\rm d})$ falla al ser una normativa espacio en que ${\rm d}$ no se induce ninguna norma, como se puede comprobar fácilmente: $$ {\rm d}(\lambda x,\lambda y) \neq |\lambda|{\rm d}(x,y) \quad\text{siempre $x\neq y$$\lambda\neq\pm1$} $$

Vamos ahora $$ \|x\|_p = \left(\sum_{i=1}^n|x_i|^p\right)^{\frac1p} \quad\text{para algunos $p>0$} $$ A continuación, puede comprobar fácilmente que $\|{}\cdot{}\|_p$ es una norma para cualquier $p>0$, por lo tanto $(X,\|{}\cdot{}\|_p)$ es una normativa espacio, pero para $p\neq 2$ no es inducida por un producto escalar. Por lo tanto, para $p\neq 2$ $(X,\|{}\cdot{}\|_p)$ es una normativa espacio que no es inducida por un producto interior.

Answer 3

Siempre se puede usar un producto interior para definir una norma y que siempre se puede utilizar una norma para definir una métrica. Específicamente, si $<a,b>$ es el producto interior de $a$$b$, $\sqrt{<a,a>}$ es una norma, es decir, se puede decir $\Vert a\Vert = \sqrt{<a,a>}$ y tiene todas las propiedades necesarias de una norma. Si usted tiene una norma $\Vert \cdot \Vert$, entonces se puede definir una métrica por $d(a, b)=\Vert a-b\Vert$ y que medida tiene todas las propiedades requeridas.

Sin embargo, como se señaló en los comentarios, la inversa no es verdadera. I. e. tener una métrica no implica que usted tiene un producto interior.

Answer 4

No sé si esto ayuda, pero un espacio métrico no es necesariamente un espacio vectorial.

"El conjunto de los números reales positivos, ℝ+=(0,∞), con la métrica dada por d(x,y):=|x−y| es un espacio métrico, pero no es un espacio lineal, ya que no contiene ni una identidad aditiva (0), ni los inversos aditivos (−x)."

Fuente: https://wiki.math.ntnu.no/users/ehrnstro/teaching/linearmethods/metricspaces

Answer 5

En el plano, la métrica euclidiana ordinaria proviene de la norma que proviene del producto interno habitual.

En la métrica del taxi, la distancia desde$(a,b)$ a$(c,d)$ es$|a-c| + |b-d|$. Esa métrica viene de una norma, pero la norma no proviene de un producto interno.

La métrica para la cual la distancia entre dos puntos distintos es$1$ no proviene de una norma.