Un contraejemplo sobre la existencia de alguna secuencia en el espacio de Hilbert

Question

Quiero encontrar un uniformemente limitada secuencia $\{x_n\}$ en $l^2(\mathbb{C})$ tal que

$x_n$ no converge a cero en topología débil, es decir, $\exists ~y\in l^2(\mathbb{C}),$ tal que $\langle y, x_n\rangle\not\to 0$ ,

pero $\{x_n\}$ cumple la siguiente condición:

$$\lim_m\lim_n\langle x_{n+m},x_n\rangle=0$$ o la condición más fuerte:

$$\lim_n\langle x_{n+m},x_n\rangle=0, \forall m\geq 1.$$

Gracias de antemano.

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Observaciones:

1, Jacob Schlather lo ha resuelto para el caso $\{x_n\}$ no está uniformemente acotada, he añadido la suposición de que $\{x_n\}$ está uniformemente acotada, cosa que olvidé añadir antes.

2, Esta es una ''observación'' en la página 85 del libro-- H.Furstenberg, Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory, Princeton Univ. Press, a menos que yo malinterprete el significado en el libro.

Dice: "Cabe señalar que el resultado análogo para la convergencia ordinaria no se cumple".

Lemma 4.9. Sea $\{x_n\}$ sea una secuencia acotada de vectores en el espacio de Hilbert y supongamos que $$D-\lim_m(D-\lim_n\langle x_{n+m}, x_n\rangle)=0$$ Entonces con respecto a la topología débil, $$D-\lim_nx_n=0$$

Answer 1

Considere la secuencia $x_n=ne_n$ donde $e_n$ es el vector de base estándar. Obsérvese que para $y=\sum_{n=1}^\infty e_n/n$ tenemos $\langle x_i,y\rangle=1$ y también $\langle x_i,e_1\rangle=0$ para $i\neq 1$ por lo que la secuencia no converge débilmente. Pero para cualquier $i \neq j$ tenemos que $\langle x_i,x_j \rangle=0$ .

Answer 2

Sea $x_n = e_n$ si $n$ no es un cuadrado, y $x_n = e_1$ de lo contrario. Entonces $\{x_n\}$ no converge débilmente a $0$ (elija $y=e_1$ como función de prueba). Por otra parte, $\langle x_{n}, x_{n+m} \rangle = 0$ a menos que ambos $n$ y $n+m$ son cuadrados. Para cualquier $m>0$ Esto no puede pasar por ejemplo, $n > m^2$ y así $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \langle x_{n}, x_{n+m} \rangle = 0$ .