Caracterización de secuencias de forma que cada subsecuencia acotada converja.

Question

Llame a una secuencia de números reales semiconvergent si cada delimitada larga converge. Claramente, un almacén de secuencia es semiconvergent si y sólo si es convergente. También, todos los monotonía de las secuencias son semiconvergent (y de hecho lo son ninguna de las secuencias con no delimitada subsecuencias). Uno también puede hacer cosas como alternativa entre los términos de una monótona secuencia y los términos de una secuencia convergente para obtener una semiconvergent secuencia. No estoy seguro de si la suma de dos semiconvergent secuencias es necesariamente semiconvergent, aunque no he dado mucho pensamiento.

Espero que esta pregunta no es demasiado abiertas, pero viendo que no puedo encontrar nada acerca de esta noción en línea, me gustaría saber si hay alguna alternativa de caracterización para (unbounded) semiconvergent secuencias, o incluso interesantes propiedades o condiciones suficientes para semiconvergence. Tal vez hay algo trivial sobre esta noción de que estoy con vistas.

Answer 1

Una secuencia en un espacio métrico cuya cerrado bolas son totalmente acotado, $Y$, es semiconvergent si y sólo si tiene más de un punto límite en $Y$.

Prueba:

Supongamos $(x_n)$ tiene dos límite de puntos en $Y$, a continuación, elija un almacén de conjunto abierto que contiene a ambos. Elija la larga de $(x_n)$ que se encuentra en este conjunto abierto. Ahora tenemos una limitada larga que necesariamente tiene todavía dos límite de puntos, por lo tanto no es convergente.

Por el contrario, es suficiente para demostrar que un almacén de secuencia, $(x_n)$, con un único punto límite, $x$, es convergente. Desde $(x_n)$ es limitada, está contenida en una bola cerrada, que es compacto por el total de acotamiento de cerrado de bolas y la integridad de la $Y$. Llamar a esta cerrado balón $K$. Entonces si $(x_n)$ no concurre el único punto límite $x$, no es $\epsilon > 0$ tal que $(x_n)$ tiene una infinidad de términos que no figuran en el open de bola de $U=B_\epsilon(x)$. A continuación, vamos a $(y_n)$ ser el subsequence de $(x_n)$ contenida en $K\setminus U$, el cual es cerrado y por lo tanto compacto subconjunto de $K$. Desde la compacidad secuencial implica la compacidad de las métricas espacios, $(y_n)$ tiene un punto límite en $K\setminus U$, y por lo tanto también lo hace $(x_n)$. Contradicción.

Nota:

En particular, esto se aplica a $Y=\Bbb{R}^n$ cualquier $n$.

Answer 2

Como jgon la respuesta mostró, una secuencia $(x_n)$ en $\mathbb{R}$ es semiconvergent fib tiene más de un punto límite. Ya que parece estar interesado en lo que un semiconvergent secuencia puede "parecer", permítanme señalar que existe una descripción concreta se puede obtener de esta. Es decir, una secuencia $(x_n)$ es semiconvergent el fib no es una partición de a$\mathbb{N}$ en dos conjuntos de $A$ e $B$ tal que el subsequence $(x_n)_{n\in A}$ converge y el subsequence $(x_n)_{n\in B}$ satisface $|x_n|\to \infty$. (Si $A$ o $B$ es finito, estas condiciones son adoptadas para mantener vacuously.) En otras palabras, $(x_n)$ se obtiene al unir juntos una secuencia convergente con una secuencia que va de la a (unsigned) $\infty$.

La prueba es simple. Si $(x_n)$ no tiene límite de puntos, entonces no tiene delimitadas las subsecuencias, por lo $|x_n|\to \infty$ y podemos tomar $A=\emptyset$ e $B=\mathbb{N}$. De lo contrario, supongamos $x\in\mathbb{R}$ es el único punto límite de $(x_n)$. Deje $U$ ser algunos delimitada barrio de $x$ y deje $A=\{n:x_n\in U\}$. A continuación, $(x_n)_{n\in A}$ es un almacén de secuencia cuyo único punto límite es $x$, por lo que converge a $x$. Si $|x_n|\not\to\infty$ a $B$, entonces hay una limitada larga de $(x_n)_{n\in B}$. Pero, por definición, de $B$, esta larga no convergen a $x$, y por tanto su límite sería un punto límite de $(x_n)$ además $x$. Por lo tanto $|x_n|\to\infty$ a $B$.

Por el contrario, si $A$ e $B$ existen, cualquiera limitada larga de $(x_n)$ debe tener todos, pero un número finito de sus términos en $A$, y por lo tanto deben converger al límite de $A$.

Como en jgon la respuesta, todo esto se generaliza a cualquier espacio métrico en el que se cerró bolas son compactos, con "$|x_n|\to\infty$" significa que los $x_n$ es, finalmente, fuera de cualquier conjunto acotado. De manera más general, un argumento similar muestra que si $(x_n)$ es una secuencia en cualquier compacto de Hausdorff espacio con sólo un número finito de acumulación de puntos, a continuación, $(x_n)$ se obtiene al unir juntos un número finito de secuencias convergentes para cada uno de esos acumulación de puntos. (En el espacio métrico caso anterior, el compacto de Hausdorff espacio es el punto de compactification de su espacio original.)