La lógica detrás valor absoluto problema

Question

Estoy tratando de concretar la lógica que hay detrás del valor absoluto de las desigualdades. Dada una desigualdad como $$\Bigg\lvert\frac{2}{x+4}\Bigg\rvert>2,$$ el proceso normal es que los casos de uso y la definición de valor absoluto para determinar el conjunto solución.

Sin embargo, al pensar en el proceso un poco más me he confundido yo. Cuando se enfrentan con este problema, el objetivo es encontrar los valores de $x$ que hacen que la relación verdadera. Pero por casos de uso, estoy asumiendo que $\frac{2}{x+4}$ es no negativa en un caso y negativo en el otro y luego se procede a encontrar las soluciones que satisfagan a cada caso. Es esta lógica circular desde el signo de $\frac{2}{x+4}$ depende de $x$? Parece que estoy asumiendo algo acerca de $x$ antes de que la encuentre. Puede alguien explicar la lógica aquí? Gracias por la ayuda.

Answer 1

Hay dos maneras por las que la desigualdad es verdadera. Cualquiera de las $\left(\frac{2}{x+4}\geq 0\right) \land \left(\frac{2}{x+4}>2\right)$ o más $\left(\frac{2}{x+4} < 0\right) \land \left(-\frac{2}{x+4}>2\right)$.

Eso es un total de $4$ desigualdades, junto con la "y"y "o"s. La solución a cada uno de ellos es un subconjunto de la recta numérica, que puede ser reducido a algo acerca de la $x$. A causa de la "y"y "o"s involucrados, desea que la unión de dos conjuntos, uno de los cuales es la intersección de las soluciones de las dos primeras desigualdades, y la otra es la intersección de las soluciones de las dos últimas desigualdades.

No hay ningún razonamiento circular, porque no estamos asumiendo que nada acerca de $x$ para obtener soluciones. Estamos simplemente escribir todas las condiciones que tienen que ser satisfechos, y saber en que esto suceda.

Answer 2

$$\left|\frac{2}{x+4}\right|>2$$

es equivalente a $$\left|\frac{1}{x+4}\right|>1$$

Lo que conduce a la equivalente declaraciones

paso 1

$\dfrac{1}{x+4} < -1 \quad \text{or} \quad \dfrac{1}{x+4} > 1$

paso 2

$-1 < x+4 <0 \quad \text{or} \quad 0 < x+4 < 1$

paso 3

$x \in (-5, -4) \cup (-4, -3)$

Answer 3

Deje que la solución se $S$. La cosa es que $x$ no es cualquier número; se asume que el $x$ satisface $\left|\dfrac {2}{x+4} \right|>2 $, y ahora usted está tratando de encontrar otro que sea necesario y las condiciones suficientes para juzgar si un número$s$ $S$ o no (aparte de la condición de $\left|\dfrac {2}{s+4}\right|>2 )$.

En otras palabras, se puede deducir

$s \in S \iff \left(\dfrac {2}{s+4}>2 \right)\vee \left(\dfrac {2}{s+4}<-2 \right) \iff ... \iff x \in (-5, -4) \cup ( -4, -3)$

Por lo tanto, $\{x \in \mathbb{R} : \left|\dfrac {2}{x+4} \right|>2 \} = \{ x \in \mathbb{R} : x \in (-5, -4) \cup ( -4, -3) \}$

Espero que esto ayude.

Answer 4

Para la solución de la desigualdad hay dos casos:

1. $$\frac{1}{x+4}>1,$$ que es $$\frac{1}{x+4}-1>0,$ $ , que es $$\frac{-3-x}{x+4}>0,$$ que es $$-4<x<-3;$$ 2.$$\frac{1}{x+4}<-1,$$ que es $$\frac{x+5}{x+4}<0,$$ que es $$-5<x<-4$$ y obtenemos la respuesta: $$(-5,-3)\setminus\{-4\}$$

Creo que los casos de $x+4>0$ $x+4<0$ no son necesarias aquí.

Answer 5

"Es esta lógica circular desde la señal de que depende ? "

no. Por qué tendría que ser circular? Es debido a que el valor de $|\frac 2 {x+4}|$ no depende de $x $ que haciendo de los casos nos dice lo $x $ tiene que ser para hacer $|\frac 2 {x+4}|$ positivo o negativo.

Considere la posibilidad de Sam, la religión determina su dieta y sabemos que él bebió la leche, los viernes, en 1954, y él se comió el jamón, el pescado, el pollo o verduras con ella. Si comía jamón o pollo él no es Judío. Si comía no comer los peces que él no es católico. lo que él comió él no Jain. Que no es circular.

Si $x >-4$ luego de que las fuerzas de $\frac 2 {x+4}$ a ser positivo. Por lo $x >-4$ $\frac 2 {x+4}>0$ es posible. Eso es aceptable. Si $x <-4$ que las fuerzas de $\frac 2 {x+4}$ a ser negativo . Por lo $x <-4$ $\frac 2 {x+4}<0$ es posible. Eso es aceptable. Pero nada es como $x=-4$ es imposible.

Así que tenemos dos opciones: $x >-4$ $\frac 2 {x+4}>0$ o $x <-4$$\frac 2 {x+4}<0$.

No hay nada de circular sobre eso.