Resolver $\int \frac{1}{6+(x+4)^2} dx$ .

Question

$\int \frac{1}{6+(x+4)^2} dx = 6\int \frac{1}{1+\frac{(x+4)^2}{6}} dx$

Ahora $u=\frac{(x+4)}{\sqrt{6}}$ y $du=\frac{1}{\sqrt{6}}dx$ .

$6\int \frac{1}{1+\frac{(x+4)^2}{6}} dx=\frac{6}{\sqrt{6}}\int\ \frac{1}{1+u^2}=\frac{6}{\sqrt{6}}$ arctan $(u)$ = $\frac{6}{\sqrt{6}}$ arctan $(\frac{(x+4)}{\sqrt{6}})+C$

Sin embargo, el resultado es $\frac{arctan(\frac{(x+4)}{\sqrt{6}})}{\sqrt{6}}+C$

¿Por qué mi resultado es erróneo? No veo ningún error.

Answer 1

Se puede escribir brevemente como $$\int \frac { 1 }{ 6+\left( x+4 \right) ^{ 2 } } dx=\frac { 1 }{ 6 } \int \frac { \sqrt { 6 } d\left( \frac { x+4 }{ \sqrt { 6 } } \right) }{ 1+{ \left( \frac { x+4 }{ \sqrt { 6 } } \right) }^{ 2 } } =\frac { \sqrt { 6 } }{ 6 } \arctan { \left( \frac { x+4 }{ \sqrt { 6 } } \right) } +C$$

Answer 2

Su primer paso es erróneo $$ \frac{1}{6+(x+4)^2} \color{red}{\neq} \frac{6}{1+\frac{(x+4)^2}{6}}$$

Además, tu sustitución es errónea. Has sustituido $$ \mathrm dx =\frac{1}{\sqrt 6} \mathrm du$$ Que en realidad es $$\mathrm du =\frac{1}{\sqrt 6} \mathrm dx$$ La respuesta dada es correcta.

Answer 3

Inicie la sustitución en U:

$u$ = $x$ +4 y $dx$ = 1 $dx$ $$\\$$ Haciendo la integralidad:

$$\int \frac{1}{6+(u)^2} du$$ $$\\$$ Ahora haz otra sustitución en U:

$u$ = $\sqrt6v$ y $du$ = $\sqrt6 dv$ $$\\$$ Haciendo la integralidad:

$$\int \frac{1}{\sqrt6+(v^2+1)} dv$$ $$\\$$ Quita la constante: $$\frac{1}{\sqrt6}\int \frac{1}{(v^2+1)} dv$$ El integrando es una integral común. La integral de $\frac{1}{(v^2+1)} dv$ es $arctan(v)$ .

Así que ahora lo tienes: $\frac{1}{\sqrt6} arctan(v)$

No te olvides de volver a sustituir en $v$ y $u$ .

$v$ = $\frac{u}{\sqrt6}$ y $u$ = $x$ +4. $$\\$$ Su respuesta final es: $$\frac{1}{\sqrt6} arctan(\frac{x+4}{\sqrt6}) + C$$

Answer 4

De todos modos todo el mundo debería saber que $$\int\frac{\mathrm dx}{x^2+a^2}=\frac1a\arctan\frac xa.$$