¿Hay una propiedad en $\mathbb{N}$ que sabemos que alguien debe satisfacer pero don ' sabe que?

Question

Tengo dos preguntas.

$(1.)$ Hay una propiedad de los números naturales tales que sabemos que al menos un número que satisface pero no sabemos cuál?

Aún más,

$(2.)$ Hay una propiedad de los números naturales tales que sabemos que al menos un número que satisface pero no sabemos cuál, y por otra parte no podemos obligado cualquier número por otro número?

Ahora surge la pregunta sobre qué significa para saber un número. Para ser capaz de escribirlo dado una cantidad infinita de tiempo (y el papel y la tinta) será suficiente.

EDIT: hasta ahora, la segunda parece ser una cuestión sin resolver y una respuesta sería muy apreciada y posiblemente recompensado.

Answer 1

Para la primera pregunta, sabemos que hay un menor número natural $n$ tal que $\pi(n)>\text{li}(n)$ donde $\pi(x)$ es la principal función de conteo y li$(x)$ es la logarítmica integral, pero no sabemos cuál es el número.

EDIT: Por el bien de tener una respuesta más completa, lo voy a incluir nuestra discusión en los comentarios.

Ha habido mucho progreso en la determinación de un límite superior para el primer entero en que este cambio ocurra, pero todavía el número se nos escapa. Curiosamente, sabemos que hay infinitamente muchos números para que esta desigualdad se cumple.

Answer 2

He aquí un ejemplo interesante que es el tema de la reciente (y celebrado) de investigación:

Consideremos el conjunto a $\{p_1, p_2, p_3, \ldots\}$ de los números primos, listados en orden creciente. El $n$th primer gap es la diferencia de $p_{n + 1} - p_n$. En 2013, Yitang Zhang mostró que existen infinitos primos lagunas de tamaño $\leq 7 \cdot 10^7$. Ya que hay sólo un número finito de enteros positivos menores de este tamaño, al menos uno de ellos debe ocurrir infinitamente a menudo, pero no sabemos que. Desde entonces, el proyecto Polymath ha mejorado de que la cota superior de a $246$ (en diciembre pasado). La famosa y larga Twin Primer Conjetura dice que $2$ se produce infinitamente a menudo.

Answer 3

Se sabe que uno de ζ(5), ζ(7), ζ(9) y ζ(11) debe ser irracional, pero no se sabe que:

Zudilin W. (2001). "Uno de los números ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) es irracional". Russ. Matemáticas. Surv. 56 (4): 774-776. doi:10.1070 / RM2001v056n04ABEH000427.

Answer 4

Goldbach la conjetura es la declaración de que, si $n$ es incluso un número natural y $n>2$ $n$ es la suma de dos números primos. No se sabe si esta conjetura es verdadera, ni cualquier obligado conocido en lo grande que es el primer contraejemplo podría ser si la conjetura es falsa. En vista de esta situación, tenga en cuenta la siguiente propiedad de un número natural $n$: $n$ es el primer contraejemplo a Goldbach la conjetura de Goldbach o la conjetura es verdadera y $n=0$. Sabemos que no es exactamente una $n$ con esta propiedad (ya sea porque Goldbach la conjetura es verdadera o tiene exactamente un primer contraejemplo), pero no tenemos ningún razonable obligado para la gran $n$ podría ser. (El weasely palabra "razonable" es que hay que excluir a los "límites" como "$7+$ el primer contraejemplo a Goldbach es una conjetura o $13$ si Goldbach la conjetura es verdadera".)