Probar que si $f$ es holomorphic para que $f'(z)=\alpha f(z)$ $f(z)=ce^{\alpha z}$

Question

Probar que si $f$ es holomorphic para que $f'(z)=\alpha f(z)$, $\alpha$ siendo una constante, para cada $z \neq 0$ $f(z)=ce^{\alpha z}$, $c \in \mathbb C$.

Así que lo que he intentado hacer es definir $g(z)=f(z)-ce^{\alpha z}$, y demostrando $g(z)$ es constante el uso de Cauchy-Riemann. Obviamente que no funcionó muy bien..

Cualquier otro sugerencias serán grandes!

Answer 1

Multiplicar ambos lados por $e^{-\alpha z}$ y, con un poco de magia, usted puede hacer que suceda. No voy a estropear las cosas por decir nada más.

Answer 2

Considerar la función de holomorphic

$g(z) = e^{-\alpha z} f(z); \tag{1}$

tenemos

$g'(z) = -\alpha e^{-\alpha z} f(z) + e^{-\alpha z} f'(z)$ $= -\alpha e^{-\alpha z} f(z) + e^{-\alpha z} \alpha f(z) = 0; \tag{2}$

así

$g(z) = c, \;\; \text{a constant}; \tag{3}$

y por lo tanto de (1),

$f(z) = ce^{\alpha z}. \tag{4}$

QED!!!

Nota Añadida el sábado 25 de abril de 2015 2:01 PM PST: podemos, y tal vez debería decir un poco más. Si conocemos el valor de $f(z_0)$ $f(z)$ en algún punto de $z_0$, entonces a partir de (4) tenemos

$f(z_0) = ce^{\alpha z_0}, \tag{5}$

de dónde

$c = f(z_0) e^{-\alpha z_0}, \tag{6}$

así que de hecho podemos escribir (4) como

$f(z) = f(z_0) e^{-\alpha z_0} e^{\alpha z} = f(z_0) e^{\alpha(z - z_0)}. \tag{7}$

Escrito $f(z)$ en la forma de (7) es una ayuda para la presentación de $f(z)$ en el caso de que el dominio de $\Omega$ $f(z)$ está permitido tener más de una topológico componente, es decir, en el caso de que ésta no es necesariamente la conexión de un subconjunto del plano complejo. Para, a continuación, sólo podemos afirmar de $g'(z) = 0$ que $g(z)$ es constante en cada componente de $\Omega$. Si escribimos

$\Omega = \bigcup_{i \in I} \Omega_i, \tag{8}$

donde cada una de las $\Omega_i$ es no-vacío, conectado abrir subconjunto de $\Bbb C$$\Omega_i \cap \Omega_j = \emptyset$$i \ne j$, $\Omega$ es topológicamente descompuesto en el $\Omega_i$, entonces para cada a $i \in I$ podemos optar $c_i \in \Bbb C$

$g(z) = c_i, \;\; f(z) = c_i e^{\alpha z} \tag{9}$

en $\Omega_i$. Si $z_i \in \Omega_i$, luego por (7) tenemos

$f(z) = f(z_i)e^{\alpha(z - z_i)}, \tag{10}$

$z \in \Omega_i$. Por lo tanto (7) proporciona un método para "automáticamente" de la especificación explícita de $f(z)$ sobre cada componente de $\Omega$.

Por supuesto, cuando nos ilimitadamente decir, con nuestra OP Reyo, "$f$ es holomorphic . . . para cada $z \ne 0$" nos comprendan $f(z)$ a ser holomorphic en todos los de $\Bbb C \setminus \{ 0 \}$, que está conectado. Y, de hecho, la forma general de la $f(z)$ dada en (4) muestra que puede ser extendido a toda una función; podemos tomar $z_0 = 0$, de modo que $f(z) = f(z_0) e^{\alpha z}$ y hacer con ella. Final de la Nota.