Criterios para un primer grado de extensión de campo para ser Galois

Question

Deje $k$ ser un campo de característica cero, no es algebraicamente cerrado, y deje $k \subset L$ ser una extensión de campo de primer grado $p \geq 3$.

Estoy buscando una condición adicional que garantiza que $k \subset L$ es de Galois.

Un ejemplo de una respuesta: Aquí es una buena condición, que dice que si $L=k(a)=k(b)$, $a \neq b \in L$ ambos tienen el mismo polinomio mínimo de más de $k$, $k \subset L$ es de Galois. (Por supuesto, por los primitivos elemento teorema, no existe $a \neq b \in L$ tal que $L=k(a)=k(b)$; el punto es que son conjugado).

(Ver también esta pregunta que pide una generalización de grado producto de dos números primos).

Muchas gracias!

Answer 1

En este punto de la discusión entre los dos usuarios, 237522 y 1952009, a la pregunta original, podría ser un poco "doblado" y trajo de vuelta a la siguiente: "Dado un campo $k$ de los característicos $\neq p$ (donde $p$ es una extraña prime), clasificar las extensiones de Galois de $k$ grado $p$". Tal extensión cíclica de grado $p$ y se llama una $C_p$-extensión, donde $C_p$ denota el grupo cíclico de orden $p$. Me extracto de https://math.stackexchange.com/a/2093431/300700 la siguiente respuesta :

Denotar por $G_k$ la absoluta Galois grupo de $k$, por lo que cualquier $C_p$-extensión de la $k$ es el campo fijo de un subgrupo de índice$p$$G_k$, y el subgrupo es el núcleo de una parte no trivial homomorphism $G_k \to C_p$, por lo que el $C_p$-extensiones de $k$ son clasificados por la no trivial de los elementos del grupo $Hom(G_k, C_p)$. Para seguir progresando, introducir el campo $K = k(\mu_p)$ donde $\mu_p$ es el grupo de $p$-th raíces de la unidad, y considerar el mapa de restricción $Hom(G_k, C_p) \to Hom(G_K, C_p)$. Para cualquier módulo de Galois $X$, $\Delta=Gal(K/k)$ actúa en $Hom (G_K , X)$ en la forma habitual, más precisamente a través de $(\delta, f) \in \Delta \times Hom(G_K, X) \to f^{\delta}$$f^{\delta}(x)= \delta (f(\delta^{-1}(x))$$x \in X$ . Tenga en cuenta que esta acción es la única que se functorial; aquí $\Delta$ actos trivialmente en $C_p$. Desde $\Delta$ tiene orden de primer a $p$, es clásicamente conocido que $Hom(G_k, C_p)\cong Hom(G_K, C_p)^{\Delta}$, donde el superíndice $(.)^{\Delta}$ denota la invariantes bajo $\Delta$. Desde $G_K$ actos trivialmente en $\mu_p$, uno ha $Hom(G_K, C_p)\cong Hom(G_K,\mu_p)$ como grupos, pero no se como $\Delta$-módulos porque canónica de la acción de $\Delta$ definido anteriormente. En realidad, uno puede comprobar fácilmente que $Hom(G_K, C_p)\cong Hom(G_K,\mu_p)(-1)$ donde $(.)(-1)$ denota el llamado "Tate twist", lo que significa que el Galois de acción en $Hom(G_K,\mu_p)$ ha sido sustituido por una nueva acción definidas por $\delta^{new} (f)= \kappa(\delta)^{-1}.\delta^{old}(f)$ donde $\kappa$ es el mod $p$ carácter definido por $\delta(\zeta)=\zeta^{\kappa(\delta)}$$\zeta \in \mu_p$ . En consecuencia, $Hom(G_k, C_p)$ pueden ser identicados con los elementos $f\in Hom(G_K,\mu_p)$ tal que $\delta (f)=\kappa(\delta).f$ (estos pueden ser vistos como "vectores propios" correspondiente a los "valores propios" $\kappa(\delta)$). Ahora, por Kummer teoría sobre $K$, $Hom(G_K,\mu_p)\cong (K^{*}/K^{*})^p$ , y este isomorfismo es $\Delta$-equivariant, por lo que se hacen, al menos en teoría.

Answer 2

Deje $k(\alpha)/k$ una extensión de Galois de primer grado $[k(\alpha):k] = p$$char(k) \ne p$.

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Si $\zeta_p \not \in k$ $k(\zeta_p)/k$ $k(\alpha,\zeta_p)/k(\alpha)$ son Galois y (mirando a la posible automorfismos) $[k(\zeta_p):k]=[k(\alpha,\zeta_p):k(\alpha)] = n$ donde $n \ |\ p-1$.

Por lo tanto $k(\zeta_p,\alpha)/k$ es de Galois de grado $np$ $k(\zeta_p,\alpha)/k(\zeta_p)$ es de Galois de grado $p$,

por el Kummer teoría significa $k(\alpha) = k(\sqrt[p]{a})$ algunos $a \in k(\zeta_p)^* /(k(\zeta_p)^*)^p$

y, por tanto, $k(\alpha)/k$ no Galois.

Qed. $\zeta_p \in k$ e (Kummer teoría) $k(\alpha) = k(\sqrt[p]{a})$ algunos $a \in k^* /(k^*)^p$