El cálculo de la exponencial de una Matriz de 4x4

Question

Se me pide que encuentre a $e^{At}$, donde

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix}$.

Permítanme, por tanto, encontrar $e^{A}$ por ahora y no se puede generalizar a más tarde.

Me doy cuenta de inmediato de que puedo escribir

$A = \begin{bmatrix} B & I_{2}\\ 0_{22} & B\\ \end{bmatrix}$, donde

$B = \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\\ \end{bmatrix}$.

Estoy haciendo un método aquí y espero que funcione. Alguien me puede decir si esto es correcto?

Yo escribo:

$A = \mathrm{diag}(B,B) + \begin{bmatrix}0_{22} & I_{2}\\ 0_{22} & 0_{22}\end{bmatrix}$

Llame a $S = \mathrm{diag}(B,B)$, e $N = \begin{bmatrix}0_{22} & I_{2}\\ 0_{22} & 0_{22}\end{bmatrix}$

Tomo nota de que $N^2$$0_{44}$, lo $e^{N} = \frac{N^{0}}{0!} + \frac{N}{1!} + \frac{N^2}{2!} + \cdots = I_{4} + N + 0_{44} + ... = I_{4} + N$

y que $e^{S} = \mathrm{diag}(e^{B}, e^{B})$ y calcular:

$e^{A} = e^{S + N} = e^{S}e^{N} = \mathrm{diag}(e^{B}, e^{B})\cdot[I_{4} + N]$

Esto reduce el problema a la búsqueda de $e^B$, que es mucho más fácil.

Es mi lógica correcta? Acabo de empezar a escribir todo como un bloque de la matriz y procedió como si nada acerca de el proceso de búsqueda de la exponencial de una matriz iba a cambiar. Pero realmente no sé la teoría detrás de esto solo estoy adivinando cómo iba a funcionar.

Answer 1

Considere la posibilidad de $M(t) = \exp(t A)$, y como se dio cuenta, se ha de bloque-diagonal formulario $$ M(t) = \left(\begin{array}{cc} \exp(t B) & n(t) \\ 0_{2 \times 2} & \exp(t B) \end{array} \right). $$ Observe que $M^\prime(t) = A \cdot M(t)$, y esto se traduce en la siguiente ecuación diferencial para $n(t)$ matriz: $$ n^\prime(t) = \mathbb{I}_{2 \times 2} \cdot \exp(t B) + B \cdot n(t) $$ lo que se traduce en $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \exp(-t B) n(t) \right) = \mathbb{I}_{2 \times 2} $$ es decir, que la $n(t) = t \exp(t B)$.

Answer 2

Diferentes, pero en lugar específico, la estrategia sería utilizar el anillo homomorphism $${a+bi\in\mathbb C \mapsto \pmatrix{a&-b \\ b&a}\in\mathbb R^{2\times 2}}$$en el bloque de descomposición. Entonces el problema es equivalente a encontrar $$e^{t\pmatrix{1+i & 1\\ 0 & 1+i}}=e^{\pmatrix{t+ti & t\\ 0 & t+ti}}=e^{t+ti}e^{\pmatrix{0&t\\0&0}}=(e^{t+ti})\pmatrix{1&t\\0&1}$$ que se desarrolla a $$\pmatrix{e^t\cos t & -e^t\sin t & t e^t \cos t & -t e^t \sin t \\ e^t \sin t & e^t \cos t & t e^t \sin t & t e^t \cos t \\ 0 & 0 & e^t\cos t & -e^t\sin t \\ 0&0& e^t\sin t & e^t\cos t }$$