Demuestre que $\sum_{n=0}^\infty |a_n|<\infty.$

Question

L $\{a_n\}$ sea una sucesión real. Supongamos que para cada sucesión real convergente $\{s_n\}$ la serie $\sum_{n=0}^\infty a_n s_n$ converge. Demuestre que $\sum_{n=0}^\infty |a_n|<\infty.$

Intento de monte:

Considere la secuencia $\{s_n\}$ donde $s_n=1$ para todos $n$ . Entonces tenemos que $\sum_{n=0}^\infty a_n$ converge. Pero, ¿cómo demuestro la convergencia absoluta? ¿Tengo que hacer algo usando la suma de Abel aquí? Porque como $\sum_{n=0}^\infty a_n$ converge, sea $\sum_{n=0}^\infty a_n=s$ . Entonces la suma de Abel $\lim_ {x\rightarrow 1} \sum_{n=0}^\infty a_nx^n=s$ . Estoy atascado aquí. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Si $\sum_{n=0}^{\infty} |a_n| = \infty,$ podemos encontrar $0=n_1 < n_2 < \cdots$ tal que

$$\sum_{n=n_k}^{n_{k+1}-1}|a_n| > k.$$

Para cada $n\in \mathbb N,$ existe un único $k = k(n)$ tal que $n_k\le n < n_{k+1}.$ Defina $s_n = \text { sgn }(a_n)/k(n)$ para cada $n.$ Entonces $s_n \to 0,$ de ahí $\sum a_ns_n$ converge. Pero

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_ns_n = \sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n_k\le n < n_{k+1}}\frac{|a_n|}{k} > \sum_{k=1}^{\infty}1 = \infty.$$

Eso es una contradicción, dando el resultado.

Answer 2

Sólo ampliaba el comentario de Patrick. Fijar $N$ . Sea $$s_n =\begin{cases} |a_n|/a_n &\text{if } n\leq N \text{ and } a_n\neq 0 \\ 1 &\text{if } n\leq N \text{ and } a_n=0 \\ 1 &\text{if } n> N \end{cases}$$ Es evidente que $s_n$ es una secuencia convergente. Así que por la hipótesis, $$\sum_{n=1}^{\infty} s_n a_n = \sum_{n=1}^{N} |a_n| + \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n$$ converge. Ahora dejemos que $$t_N = \sum_{n=1}^{N} |a_n| + \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| - \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| + \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n$$ Hemos demostrado que $t_N$ está bien definida para cada $N$ . Ahora tenga en cuenta que $$\lim_{N\to\infty} \sum_{n=N+1}^{\infty} \left(a_n-|a_n|\right) \leq \lim_{N\to\infty} \sum_{n=N+1}^{\infty} \left(2 a_n \right) = 0$$ porque $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge, como señalas en el post. Tenemos $$t_N = \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| + p_N$$ donde $p_{N} = \sum_{n=N+1}^{\infty} (a_n-|a_n|)$ . Desde $p_{N}\to 0$ podemos encontrar un $N$ tal que $|p_{N}|<1$ . Pero entonces $$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = t_{N} - p_{N} < t_{N} + 1$$ así en particular $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ converge porque $t_{N}+1$ es un número finito.