Se dice en la Wikipedia en la que cualquier ordenó campo puede ser incrustado en el Surrealista número de sistema. ¿Es esto cierto? ¿Cómo se hace, o si es desconocido (o desconocida) ¿cuál es la prueba de que una incrustación existe para cualquier ordenó campo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Simon Hayter
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Un esbozo de respuesta única:
El modelo de crítico-teórica hecho es que la teoría de la real cerró los campos de eliminación de cuantificadores.
Eso significa que si usted tiene un verdadero campo cerrado $K$ que usted está tratando de extender (por inductivo prueba) con un nuevo elemento $b \notin K$ (o incluso si le sucede a estar buscando en algunos $b \in K$), todo lo que $K$ puede decirle a usted acerca de $b$ está determinado por:
- las fórmulas de $P(x, a_1, \ldots, a_n) = 0$ para todos los polinomios que $b$ satisface, con coeficientes de $a_i$$K$;
- las fórmulas de $\neg Q(x, a_1, \ldots, a_n) = 0$ para todos los polinomios que $b$ no satisface;
- todo el orden de la desigualdad de las fórmulas de $a < x$ $x < a$ $b$ satisface.
Esta colección de fórmulas que se conoce como el tipo de $b$; el polinomio de igualdad y no-igualdades en conjunto forman el algebraicas tipo y el orden de las fórmulas en sus propias determinar el corte.
Estas ideas deben mirar bastante familiar a partir de la construcción de la $\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$. Pero también podemos tener elementos que son más grandes que todo en $k$, para un no-Archimidean extensión.
Por otra parte, si $b \notin K$ sabemos que $b$ es realmente trascendental $K$, debido a $K$ es por hipótesis real-cerrado: lo que significa que ya contiene todas las raíces de los polinomios de más de $K$ que posiblemente puede existir en un orden de campo. Por lo que el tipo de $b$ $K$ es exactamente su corte, además de todas las declaraciones de $\neg P(x, a_1, \ldots, a_n)=0$ para todos los polinomios y las opciones de los parámetros de $a_i$$K$.
La construcción de la surreals es una recursión transfinita que mantiene la definición de nuevos elementos a ir en cada corte. Por lo que la incorporación de la real campo cerrado $k$ en el surreals es fácil por inducción transfinita:
- bien el fin de $k = \{b_\alpha: \alpha < N\}$ (con Opción, por supuesto, donde el infinito ordinal $N$ es la cardinalidad de a $k$);
- en la secuencia parcial de las asignaciones para cada nuevo $b_\alpha$ encontrar su imagen en el corte que desea, y también las imágenes de todos los miembros de $k$ que son algebraicos sobre $\{b_\beta : \beta \leq \alpha\}$;
- tomar los sindicatos a gusto.
Que todo parece sencillo. Incrustar $k$ a un segmento inicial de la surrealista árbol de la misma cardinalidad $N$$k$, por lo que el hecho de que el surreals son una clase adecuada no causa problemas.
