La prueba de que todo ordenado campos están en la Surreals

Question

Se dice en la Wikipedia en la que cualquier ordenó campo puede ser incrustado en el Surrealista número de sistema. ¿Es esto cierto? ¿Cómo se hace, o si es desconocido (o desconocida) ¿cuál es la prueba de que una incrustación existe para cualquier ordenó campo?

Answer 1

Un esbozo de respuesta única:

El modelo de crítico-teórica hecho es que la teoría de la real cerró los campos de eliminación de cuantificadores.

Eso significa que si usted tiene un verdadero campo cerrado $K$ que usted está tratando de extender (por inductivo prueba) con un nuevo elemento $b \notin K$ (o incluso si le sucede a estar buscando en algunos $b \in K$), todo lo que $K$ puede decirle a usted acerca de $b$ está determinado por:

• las fórmulas de $P(x, a_1, \ldots, a_n) = 0$ para todos los polinomios que $b$ satisface, con coeficientes de $a_i$$K$;
• las fórmulas de $\neg Q(x, a_1, \ldots, a_n) = 0$ para todos los polinomios que $b$ no satisface;
• todo el orden de la desigualdad de las fórmulas de $a < x$ $x < a$ $b$ satisface.

Esta colección de fórmulas que se conoce como el tipo de $b$; el polinomio de igualdad y no-igualdades en conjunto forman el algebraicas tipo y el orden de las fórmulas en sus propias determinar el corte.

Estas ideas deben mirar bastante familiar a partir de la construcción de la $\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$. Pero también podemos tener elementos que son más grandes que todo en $k$, para un no-Archimidean extensión.

Por otra parte, si $b \notin K$ sabemos que $b$ es realmente trascendental $K$, debido a $K$ es por hipótesis real-cerrado: lo que significa que ya contiene todas las raíces de los polinomios de más de $K$ que posiblemente puede existir en un orden de campo. Por lo que el tipo de $b$ $K$ es exactamente su corte, además de todas las declaraciones de $\neg P(x, a_1, \ldots, a_n)=0$ para todos los polinomios y las opciones de los parámetros de $a_i$$K$.

La construcción de la surreals es una recursión transfinita que mantiene la definición de nuevos elementos a ir en cada corte. Por lo que la incorporación de la real campo cerrado $k$ en el surreals es fácil por inducción transfinita:

• bien el fin de $k = \{b_\alpha: \alpha < N\}$ (con Opción, por supuesto, donde el infinito ordinal $N$ es la cardinalidad de a $k$);
• en la secuencia parcial de las asignaciones para cada nuevo $b_\alpha$ encontrar su imagen en el corte que desea, y también las imágenes de todos los miembros de $k$ que son algebraicos sobre $\{b_\beta : \beta \leq \alpha\}$;
• tomar los sindicatos a gusto.

Que todo parece sencillo. Incrustar $k$ a un segmento inicial de la surrealista árbol de la misma cardinalidad $N$$k$, por lo que el hecho de que el surreals son una clase adecuada no causa problemas.