Resolver el límite de $\lim\limits _{x\to 0}\frac{\sqrt{1-\cos\left(x^2\right)}}{1-\cos\left(x\right)}$

Question

$$\lim _{x\to \:0}\frac{\sqrt{1-\cos\left(x^2\right)}}{1-\cos\left(x\right)}=\left|\frac{0}{0}\right|$$

Yo creo que hay que multiplicar por el conjugado. Y luego hacer el cambio equivalente pequeño. A la derecha?

Answer 1

No L'Hospital. No Taylor:

$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-\cos x^2}}{1-\cos x}\\=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{2\sin^2(x^2/2)}}{2\sin^2(x/2)}\\=\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^2/2)}{\sqrt{2}\sin^2(x/2)}\\=\lim_{x\to0}\underbrace{\frac{\sin(x^2/2)}{x^2/2}}_1\underbrace{\left(\frac{x/2}{\sin(x/2)}\right)^2}_{1^2}\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$$

Answer 2

Uno puede recordar que, como $x \to 0$, tenemos (por la expansión de Taylor) $$ \cos x =1-\frac {x^2}{2}+\mathcal{S}(x^3), \quad \sqrt {1+x } =1+\mathcal{S}(x), $$ dando $$\frac{\sqrt{1-\cos\left(x^2\right)}}{1-\cos\left(x\right)}=\frac{\sqrt{x^4/2+\mathcal{O}(x^6)}}{x^2/2+\mathcal{O}(x^3)}=\sqrt{2}\:\frac{\sqrt{1+\mathcal{O}(x)}}{1+\mathcal{O}(x)}$$ and the desired limit is $\sqrt{2} $.

Answer 3

Mi enfoque sería Taylor ampliar:

$$ \frac{\sqrt{1 - \cos(x^2)}}{1 - \cos(x)} = \frac{\sqrt{1 - (1 - x^4/2)}}{1 - (1 - x^2/2)} + \mathcal{O}(x^3) = \frac{x^2/\sqrt{2}}{x^2/2} + \mathcal{O}(x^3)= \sqrt{2} + \mathcal{O}(x^3) $$

Answer 4

Aplicar la Regla de l'Hospital de:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-\cos x^2}}{1-\cos x}\stackrel{\text{l'H}}=\lim_{x\to 0}\frac{x\sin x^2}{\sin x\sqrt{1-\cos x^2}}=\lim_{x\to 0}\frac x{\sin x}\cdot\frac{\sin x^2}{\sqrt{1-\cos x^2}}$$

El primer factor límite del es $\; 1\;$ , mientras que el segundo factor, se obtiene:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{\sqrt{1-\cos x^2}}\stackrel{\text{l'H}}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sqrt{1-\cos x^2}\cos x^2}{\sin x^2}=\lim_{x\to 0}2\cos x^2\frac{\sqrt{1-\cos x^2}}{\sin x^2}$$

$$=2\cdot\frac1{\sqrt2}=\sqrt2$$

Answer 5

Extraiga la raíz cuadrada mediante la observación de que $1-\cos x\ge0$, lo $1-\cos x=\sqrt{(1-\cos x)^2}$; por lo tanto, reducir a la computación $$ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x^2)}{(1-\cos x)^2} $$ y, a continuación, tomar la raíz cuadrada del resultado. Ahora $$ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x^2)}{(1-\cos x)^2}= \lim_{x\to0}\frac{1-(1-x^4/2+o(x^4))}{(1-(1-x^2/2+o(x^2))^2}= \lim_{x\to0}\frac{x^4/2+o(x^4)}{x^4/4+o(x^4)}=2 $$

Usted puede incluso evitar el uso de Taylor de expansión recordando que $$ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} $$ así que usted puede escribir directamente $$ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x^2)}{(1-\cos x)^2}= \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x^2)}{x^4}\left(\frac{x^2}{1-\cos x}\right)^2= \frac{1}{2}\cdot 4=2 $$