Si $K_1$ $K_2$ son la división de los campos de $x^n-1$$x^m-1$$\mathbb{Q}$; (m,n)=1, a continuación, $K_1\cap{K_2}=\mathbb{Q}$

Question

Saluda

Deje $\zeta$ $\eta$ $m$th y $n$th raíces primitivas de la unidad, respectivamente, con $(n,m)=1$. Quiero demostrar que la $\mathbb{Q}(\eta)\cap{\mathbb{Q}(\zeta)}=\mathbb{Q}$.

Yo les doy una respuesta más abajo

Answer 1

Deje $\zeta$ $\eta$ $m$th y $n$th raíces primitivas de la unidad, respectivamente, con $(n,m)=1$. Podemos suponer $m<n.$

Desde $(m,n)=1$, $\zeta\eta$ tiene orden de $mn$$\langle\mathbb{C},\cdot\rangle$, es decir, $\zeta\eta$ $nm$th raíz de la unidad, en consecuencia,$[\mathbb{Q}(\zeta\eta):\mathbb{Q}]=\varphi(mn)$.

Tenemos que $(\zeta\eta)^{m}=\eta^m$, pero $(n,m)=1$, $\eta^m$ $n$th raíz primitiva de la unidad y de la $\eta^m\in{\mathbb{Q}(\zeta\eta)}$, pero $\mathbb{Q}(\zeta\eta)$ es una división de campo de más de $\mathbb{Q}$,entonces a partir de la $\mathbb{Q}(\zeta\eta)$ contiene una raíz de $\Phi_n(x)$; es decir $\eta^m$, se deduce que el $\mathbb{Q}(\zeta\eta)$ contiene todas las raíces de $\Phi_n(x)$ en $\bar{\mathbb{Q}}$, en particular,$\eta\in{\mathbb{Q}(\zeta\eta)}$.

Esto demuestra que $\mathbb{Q}(\eta)\subseteq{\mathbb{Q}(\zeta\eta)}$ $\mathbb{Q}(\zeta\eta)=\mathbb{Q}(\zeta,\eta)$

A continuación, $\varphi(nm)=[\mathbb{Q}(\zeta,\eta):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\zeta,\eta):\mathbb{Q}(\eta)][\mathbb{Q}(\eta):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\zeta,\eta):\mathbb{Q}(\eta)]\varphi(n),$ pero desde $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$, se deduce que el $$[\mathbb{Q}(\zeta,\eta):\mathbb{Q}(\eta)]=\varphi(m),$$

pero $\zeta$ es una raíz de $\Phi_m(x)$$deg{\Phi_m(x)}=\varphi(m)$, lo $\Phi_m(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}(\eta).$

Deje $K=\mathbb{Q}(\zeta)\cap{\mathbb{Q}(\eta)}$, ya que el $\Phi_m(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}(\eta)$, $\Phi_m(x)$ es irreducible sobre $K$, lo $[K(\zeta):K]=\varphi(m)$, pero desde $\mathbb{Q}\subseteq{K}\subseteq{\mathbb{Q}(\eta)}$, se deduce que el $K(\eta)=\mathbb{Q}(\eta)$, luego

$$\varphi(n)=[\mathbb{Q}(\eta):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\eta):K][K:\mathbb{Q}]=[K(\eta):K][K:\mathbb{Q}]=\varphi(n)[K:\mathbb{Q}],$$ then we must have that $[K:\mathbb{Q}]=1$, i.e, $K=\mathbb{Q}$.