Todos la 2-d polígonos que pueden ser utilizados para formar 3-d poliedros

Question

El requisito es que vamos a empezar con un 2-d del polígono y utilizar sólo las copias de este polígono, improvisar juntos en un circuito cerrado 3-d poliedro (sin espacios). Quiero encontrar una manera de identificar a todos 2-d polígonos.

Aquí son los que yo estoy consciente de

Todos los sólidos platónicos obviamente satisfacer este requisito. Así, el triángulo equilátero que pueden ser utilizados para formar el Tetraedro, el Octaedro y el Icosaedro. Luego está la plaza que se pueden utilizar para formar el Cubo y, finalmente, el pentágono regular que puede ser utilizado para formar el Dodecaedro.

Aparte de estos, los triángulos escalenos también puede ser utilizado para el formulario correspondiente de Tetraedros y Icosahedra de la misma manera como triángulos equiláteros.

Cualquier cuadrilátero que tiene dos lados consecutivos iguales pueden ser utilizados para formar una Hexahedron y cualquier pentágono que tiene dos lados consecutivos iguales a (digamos) y en los próximos dos lados consecutivos iguales a (digamos) b, dejando el tercer lado libre puede ser utilizado para formar una Tetartoid.

Algunos de estos pentágonos internos ángulos mayores de 360/3 = 120 grados.

Así que, no estoy seguro de que podemos descartar algún tipo de hexágonos irregulares que pueden utilizarse en este modo.

Lo que tengo aquí es una lista con no obvia la manera de proceder en términos de comprobar que es exhaustiva. Alguien puede darme una pista de cómo puedo progresar?

Answer 1

Euler dice que para poliedros convexos $V-E+F=2$. Ahora bien, si cada cara es un hexágono, contando todos los bordes en todos los rostros que obtenemos $6F$, pero, al hacerlo, hemos contado cada borde dos veces, por lo tanto $E=3F$. Por un razonamiento similar, si tres caras satisfacer en cada vértice, tenemos $V=2F$. Por lo tanto $V-E+F=0$ y no 2, así que no hay suerte.

Tener más de tres caras de la reunión en algunos vértices es sólo va a empeorar las cosas. Lo mismo se aplica para la introducción de hepta-y-aún-más-ágonos.

Así va.