Mostrar ker($\alpha$)=ker($\alpha$)^2 iff ker($\alpha$) y la mensajería instantánea($\alpha$) son disjuntos

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial sobre un campo $F$ y deje $\alpha$ ser un elemento de $\operatorname{End}(V)$. Espectáculo $\ker(\alpha)=ker(\alpha^2)$ fib $\ker(\alpha)$ $\operatorname{im}(\alpha)$ son disjuntas.

así que, sé que $\ker(\alpha)\subseteq \ker(\alpha^2)$ siempre es cierto

Si $v$ es un elemento de $\ker(\alpha)\implies \alpha(r)=0_V$ $\implies\alpha(\alpha(r))=\alpha(0)=0_V$

$\implies \alpha^2(v)=0_V \implies v \in \ker(\alpha^2)$

$\ker(\alpha)=ker(\alpha^2)\Leftrightarrow \ker(\alpha^2) \subseteq \ker(\alpha)$

Ahora, yo sé que estoy supone que tomar algunas $u$ elemento $\ker(\alpha)\cap \operatorname{im}(\alpha)$ y demostrar que a =$0_V$

Después voy a suponer para tener $u$ elemento $\ker(\alpha^2)$ y el espectáculo $u$ elemento $\ker(\alpha)$ donde $\alpha^2(u)=0$, e $\alpha(\alpha(u))=0$

Im no está seguro de cómo proceder a partir de aquí.

Answer 1

Considere la posibilidad de $v\in\ker \alpha^2.$$\alpha(\alpha(v))=0,$, $\alpha(v)\in \ker\alpha.$ Moreorever $\alpha(v)\in\alpha(V).$ Desde $\ker \alpha\cap \alpha(V)=\{0\}$ debe $\alpha (v)=0,$, $v\in \ker \alpha.$ Esto demuestra que $\ker\alpha^2\subset \ker \alpha.$

Answer 2

Si $v$ es un vector distinto de cero en ambos $im(\alpha)$ $ker(\alpha)$ a continuación, vamos a $u$ ser tal que $\alpha(u)=v$. A continuación,$\alpha(u)=v\not=0$$u\notin ker(\alpha)$, pero $\alpha^{2}(u)=\alpha(v)=0$$u\in ker(\alpha^{2})$.

Si $u\in ker(\alpha^{2})\backslash ker(\alpha)$ $\alpha^{2}(u)=0$ $\alpha(u)\in ker(\alpha)$ $\alpha(u)\not=0$ $\alpha(u)\in im(\alpha)\bigcap ker(\alpha)$ y es distinto de cero.