Es la derivada de esta función acotada?

Question

Esto está relacionado con mi post anterior. Supongamos $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ $C^1$ función que satisface las siguientes diferencial de la desigualdad: $$\frac{df}{dt}\leq C(f+f^{\frac{3}{2}}).$$ Si $f>0$$f(t)\rightarrow 0$$t\rightarrow\infty$, entonces es $\frac{df}{dt}$ delimitada como $t\rightarrow\infty$? Es decir, es $\frac{df}{dt}$ acotada en un intervalo $(a,\infty)$?

Answer 1

El derivado de la necesidad de no estar acotada a continuación. Imagina un primer paso función que toma el valor de $2^{-n}$ $[n,n+1)$ $n \ge 0$ $1$ al $x \le 0$; es evidente que esto es positivo y no creciente y enfoques $0$$x\to\infty$. Ahora suavizar las gotas entre los pasos, hacer de la 'madrugadores' más abrupto y escarpado. Debe ser bastante claro intuitivamente que esto se puede hacer, y que el resultado es un contraejemplo. Aquí, si no he loused los detalles, es un ejemplo concreto:

$$f(x) = \begin{cases} 1,&x \le 2\\ 2^{-n}\cos (2^{2n}\pi(x-n))+3\cdot 2^{-n}, &2 \le n \le x \le n+2^{-2n}\\ 2^{-(n-1)}, &2 < n+2^{-2n} \le x \le n+1, \end{casos}$$

y $$f'(x) = \begin{cases} 0,&x\le 2\\ -2^n\pi \sin(2^{2n}\pi(x-n)),&2 \le n \le x \le n+2^{-2n}\\ 0,&2 < n+2^{-2n}\le x \le n+1. \end{casos}$$

Para un entero $n \ge 2$, $f'(x)$ se ejecuta de $0$ $-2^n$y de vuelta a $0$ en el intervalo de $[n,n+2^{-2n}]$, por lo que es continua y no positivos en todas partes, y para $n\ge 2$, $f'(n+2^{-(2n+1)})=-2^n\pi\to -\infty$ como $n\to\infty$.