Definición de una medida como supremacía

Question

Dejemos que $\Sigma$ ser un $\sigma$ -sobre un conjunto $X$ y $\mu_1$ y $\mu_2$ medidas en él. Se puede demostrar que

$$ \begin{align} \mu_\sup: &\Sigma \to [0,\infty]\\ &E \mapsto \sup_{F \in \Sigma}\, \{\mu_1 (E \cap F) + \mu_2 (E\setminus F)\} \end{align}$$

es una medida. ¿Cómo demuestro que es la medida más pequeña $\mu$ con dominio $\Sigma$ tal que $\mu\geq\max\{\mu_1, \mu_2\}$ ?

Answer 1

No es necesario utilizar $\varepsilon$ para ver que $\mu_{\sup}\geq\max\{\mu_1,\mu_2\}$ . Desde $\emptyset$ y $X$ son elementos de $\Sigma$ para cualquier $E\in\Sigma$ ,

$$\mu_\sup(E)=\sup_{F\in\Sigma}\,\{\mu_1(E\cap F)+\mu_2(E\setminus F)\}\geq \left\{\begin{align} &\mu_1(E\cap \emptyset)+\mu_2(E\setminus \emptyset)=\mu_2(E)\\ &\mu_1(E\cap X)+\mu_2(E\setminus X)=\mu_1(E) \end{align}\right.\quad. $$

Ahora dejemos que $\mu$ sea una medida no negativa definida en $\Sigma$ , tal que, para todo $E\in\Sigma$ tenemos $\mu(E)\geq \max\{\mu_1(E),\mu_2(E)\}$ . Sea $E\in\Sigma$ y $F\in\Sigma$ . Entonces, tenemos

$$\mu_1(E\cap F)+\mu_2(E\setminus F)\leq \mu(E\cap F)+\mu(E\setminus F)=\mu(E)$$

y tomando el supremum sobre $F\in\Sigma$ obtenemos $\mu_{\sup}(E)\leq \mu(E)$ .

Lo que mostró con el $\varepsilon$ es que $\mu_{\sup}\leq \mu_1+\mu_2$ pero no es necesario que la desigualdad inversa sea cierta (para ver esto, tome $\mu_1=\mu_2$ y $E\in\Sigma$ tal que $\mu_1(E)\neq 0$ ).