Encontrar una base para el subespacio de polinomios

Question

Dejemos que $V=\mathscr{P}_{3}$ sea el espacio vectorial de los polinomios de grado 3. Sea W el subespacio de polinomios p(x) tal que p(0)= 0 y p(1)= 0. Encontrar una base para W. Extender la base a una base de V.

Esto es lo que he hecho hasta ahora.

$$p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$

$$p(0) = 0 = ax^3 + bx^2 + cx + d\\\text{d = 0}\\ p(1) = 0 = ax^3 + bx^2 + cx + 0 => a + b + c = 0\\ c = -a - b\\ p(x)= ax^3 + bx^2 + (-a-b)x = 0\\ = a(x^3-x) + b(x^2-x)\\ \text{Basis is {(x^3-x),(x^2-x)}} $$

¿Sería ésta una base correcta para W, y cómo la extendería al espacio vectorial V?

Answer 1

Creo que tienes razón.

Especificando $p(0) = p(1) = 0$ significa que cualquier polinomio en $W$ debe ser divisible por $x$ y $(x-1)$ . Es decir $W = \{ x(1-x)p(x) \, | \, p(x) \in \mathscr{P}_{1}\}$ . Desde $\mathscr{P}_{1}$ tiene dimensión $2$ , $W$ debe tener dimensión $2$ .

Ampliar $W$ a una base para $V$ sólo requiere escoger otros dos polinomios cualesquiera de grado $3$ que son linealmente independientes de los demás. Así, en particular, se puede elegir $p_{0}(x) = 1$ y $p_{1}(x) = x$ para lanzarlo.

Answer 2

Sí, eso está bien. Observa también que los polinomios que tienes se factorizan como $$ x(x-1)q(x), $$ donde tienes $q(x)=1$ y $q(x)=1+x$ .

Una forma inicial obvia de extender es lanzar una función constante, ya que claramente no podemos hacer una de esas cosas que tienen raíces en $0$ y $1$ . Del mismo modo, no podemos hacer un polinomio de grado $1$ de esta base, por lo que podemos añadir $x$ . El espacio original tiene dimensión $4$ (siendo abarcado por $\{1,x,x^2,x^3\}$ , por lo que no podemos encontrar más vectores linealmente independientes. Por lo tanto, la base final es $$ \{ 1,x,x(1-x),x(1-x)(1+x) \}. $$