Probar que cada tal $f$ $=0$ por todas partes

Question

Que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser diferenciable; que $0 \leq f'(x) \leq f(x)$ % todo $x \in \mathbb{R}$; y que $f$ desaparece en algún momento. Demostrar que $f = 0$ $\mathbb{R}$.

Ya que hay algunos $c \in \mathbb{R}$ tal que $f(c) = 0$, por el teorema del valor medio para derivados cada $x < c$ allí es algunos $x_{1} \in ]x,c[$ tal que $f(c) - f(x) = -f(x) = f'(x_{1})(c-x) \geq 0$. Desde $f \geq f'\geq 0$ $\mathbb{R}$, concluimos que el $f(x) = 0$ % todos $x < c$.

Pero, ¿$x > c$? ¿El teorema del valor medio en este caso no parece ser útil?

Answer 1

Supongamos que $x\gt c$. En primer lugar nos ocupamos de $c\lt x\lt c+1$. Por el teorema del valor medio, existe un $x_1$ entre $c$y $x$ tal que $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(x_1)$. $f'(x_1)\le f(x_1)\le f(x)$. Así $f(x)\le (x-c)f(x)$. Desde $0\lt x-c\lt 1$, esto sólo es posible si $f(x)=0$.

Concluimos que el $f(x)=0$ % todo $x$en el intervalo $(c,c+1)$. % De continuidad $f(c+1)=0$.

Ahora se demuestra de la misma manera que $f(x)=0$ % todas las $x$en el intervalo $(c+1,c+2]$ % y entonces el intervalo de $(c+2,c+3]$y así sucesivamente.

Answer 2

Otra prueba:

Que, $f(c)=0$. Queremos mostrar $f\equiv 0$ $\mathbb R=(-\infty,c]\cup[c,\infty)=A\cup B\text{ (say) }$.

$\bullet$ $A$ $f'(x)\ge 0$ Implica $f$ es monótona creciente en $A$. So , $x\le c\implies f(x)\le f(c)=0$. Además, $f(x)\ge 0$ (da). Por lo tanto, $f(x)=0$ $A$.

$\bullet$ $B$, Definir $F(x)=e^{-x}f(x)$. Entonces $F'(x)=e^{-x}f'(x)-e^{-x}f(x)\le 0$. Así, $F$ es monótona decreciente en $B$. Así, $x\ge c\implies F(x)\le F(c)=0\implies f(x)\le0$ $e^{-x}>0.$ %, $f(x)\ge 0$(da) / por lo tanto, $f(x)=0$ $B$.

En consecuencia, $f\equiv 0$ $A\cup B=\mathbb R$.