¿Cómo rebanada categoría ayudar a crear functor?

Question

La lectura de Awodey [p.16-17], dice lo siguiente:

La rebanada categoría $\boldsymbol{C}/C$ de un cateogry $\boldsymbol{C}$ sobre un objeto $C\in\boldsymbol{C}$ [ladefinición de parte de la categoría sigue] (...)
Si $g: C\to D$ es cualquier flecha, entonces no es una composición functor, $g_{*}: \boldsymbol{C}/C \to \boldsymbol{C}/D$ definido por $g_{*}(f) = g\circ f$, y lo mismo para las flechas en $\boldsymbol{C}/C$.
De hecho, toda la construcción es un functor, $\boldsymbol{C}/(-): \boldsymbol{C} \to \boldsymbol{\operatorname{Cat}}$ como el lector puede comprobar fácilmente.

Así que tengo un par de preguntas:

1. Lo que hace el $(-)$ símbolo significa?
2. ¿Qué hace el autor, por medio de la expresión "el conjunto de la construcción"?
3. Y cómo es que la "construcción" de un functor? Para mi la mejor comprensión de la rebanada de la categoría fue una "categoría" y no un functor.

P. S.: por Favor, hágamelo saber si no es claro, y yo voy a ampliar o aclarar.
P. S. S.: Mi matemáticas nivel: novato

Answer 1

$\boldsymbol{C}/(-)$ es de la categoría de la teoría de la notación de la jerga de la asignación que toma un objeto $X$ $|\boldsymbol{C}|$ y los rendimientos de la rebanada de la categoría $\boldsymbol{C}/X$.

Desde rebanada categoría es una categoría, puede ser considerado como un objeto en $\boldsymbol{Cat}$, que es la categoría cuyos objetos son las categorías. Por lo que la asignación de $\boldsymbol{C}/(-)$ toma objetos en categoría $\boldsymbol{C}$ y los rendimientos de los objetos en la categoría de $\boldsymbol{Cat}$.

Junto con la correspondiente asignación de flechas que lleva una flecha $g$ (a partir de la categoría $\boldsymbol{C}$) y los rendimientos de la flecha $g_*$ (a partir de la categoría $\boldsymbol{Cat}$), la asignación de $\boldsymbol{C}/(-)$ formas un functor de$\boldsymbol{C}$$\boldsymbol{Cat}$. Tiene los ingredientes necesarios: un mapeo entre los objetos de dos categorías (es decir,$\boldsymbol{C}$$\boldsymbol{Cat}$) y una asignación entre las flechas de esas categorías.

(Ahora se debe verificar que estas asignaciones, de hecho, forma un functor: Se deben respetar las fuentes y los objetivos de las flechas, y las identidades y las composiciones.)

Por "el conjunto de la construcción es un functor", Awodey significa "el sector de la construcción (para objetos), junto con el $g_*$ construcción acabo de describir (por flechas) es un functor."

El "$(-)$" notación es común en la categoría de la teoría; por alguna razón ya no se usan las $\mapsto$ notación que uno esperaría. La asignación que vuelve $g$ a $g_*$ podría ser escrito como $(-)_*$.