Deje $A$ ser un anillo y supongamos $P$ $Q$ son distintos máxima ideales. Hay una buena descripción de la $A_P \otimes A_Q$?
Respuestas
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Aquí está mi reclamo, que puedo demostrar a continuación:
Dado multiplicativo de los sistemas de $S_1, S_2 \subseteq A$, $$S_1^{-1}A \otimes_A S_2^{-1}A \cong (S_1 S_2)^{-1}A,$$ donde $S_1 S_2 = \{s_1 s_2 \mid s_1 \in S_1, s_2 \in S_2\}$ es el multiplicativo sistema generado por $S_1 \cup S_2$.
No es difícil ver que $(S_1S_2)^{-1}A = \bar S_1^{-1}(S_2^{-1}A)$ donde $\bar S_1$ es la imagen de $S_1$$S_2^{-1}A$.
¿Por qué es la afirmación verdadera? Debido a la localización y producto tensor ambos tienen propiedades universales.
Permítanme estado universal de la propiedad para la localización de una forma un poco diferente de lo habitual: Si $S \subseteq A$ es un sistema multiplicativo, entonces $\eta_{S^{-1}A} \colon A \to S^{-1}A$ $A$- álgebra universal de la propiedad que, dado cualquier $A$-álgebra $\eta_B \colon A \to B$ tal que $\eta_B(S)$ está contenida en las unidades de $B^\times$$B$, no hay una única $A$-álgebra de morfismos $f \colon S^{-1}A \to B$ ($f$ es un anillo homomorphism con $f \circ \eta_{S^{-1}A} = \eta_B$). Poner de forma más concisa, $S^{-1}A$ es el objeto inicial en la categoría consta de $A$-álgebras en que $S$ se asigna a las unidades.
Tensor de producto también tiene una característica universal, es el subproducto en la categoría de $A$-álgebras.
Ahora vamos a comprobar la reclamación. Para mayor brevedad, vamos a $T = S_1^{-1}A \otimes_A S_2^{-1}A$. Nos muestran que $T$ cumple la característica universal de $(S_1S_2)^{-1}A$. Así que vamos a $\eta_B \colon A \to B$ cualquier $A$-álgebra que $\eta_B(S_1S_2) \subseteq B^\times$; debemos demostrar que existe un único $A$-álgebra de mapa de $T \to B$. Ahora $S_i \subseteq S_1 S_2$ implica la existencia de una única $A$-álgebra de mapa de $f_i \colon S_i^{-1}A \to B$. Entonces a partir de la $T$ es un subproducto, no hay una única $A$-álgebra de mapa de $f \colon T \to B$ tal que $f \circ \iota_i = f_i$ donde $\iota_i \colon S_i^{-1}A \to S_1^{-1}A \otimes S_2^{-1}A$ son obviamente los mapas. Ahora si $g \colon T \to B$ otro $A$-álgebra de mapas, a continuación, $g \circ \iota_i = f_i$ por la singularidad de $f_i$, lo $g = f$ por la singularidad de $f$.
Fox
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Escribí esto pero no he revisado cuidadosamente los detalles. Espero que sea derecho. Deje $W$ ser la imagen de $A - Q$$A_P$. A continuación, $A_P \otimes_A A_Q$ es isomorfo como un $A$-álgebra a la localización de $A_P$$W$.
Prueba: Consideremos el anillo de homomorphism $f: A_P \rightarrow A_P \otimes_A A_Q, x \mapsto x \otimes 1$. Deje $B$ ser cualquier anillo, y supongamos $\phi: A_P \rightarrow B$ es un anillo homomorphism que envía a los elementos de $W$ a unidades en $B$. Hemos terminado si podemos demostrar que existe un único anillo homomorphism $\bar{\phi}: A_P \otimes_A A_Q \rightarrow B$ tal que $\bar{\phi} \circ f = \phi$.
El mapa de $A_P \times A_Q \rightarrow B, (\frac{a}{s}, \frac{y}{z}) \mapsto \phi(\frac{ay}{s}) \phi(\frac{z}{1})^{-1}$ está bien definido y $A$-bilineal, de modo que existe un único $A$-lineal mapa definido en los generadores
$$A_P \otimes_A A_Q \rightarrow B$$ por la misma fórmula. Se puede comprobar que es también un anillo homomorphism, y que responda a la singularidad.
Desde $A_P \otimes_A A_Q$ satisface la singularidad de la propiedad de localizaciones, existe un anillo único isomorfismo $\psi:W^{-1}A_P \rightarrow A_P \otimes_A A_Q$ tal que $\psi(\frac{\frac{a}{s}}{1}) = \frac{a}{s} \otimes 1$, y esto es también claramente $A$lineal, por lo $\psi$ $A$- álgebra isomorfismo. $\blacksquare$
Por ejemplo, si $A$ es una parte integral de dominio, y $P,Q$ son de la altura de uno de los máximos ideales (por ejemplo, $A$ es un dominio de Dedekind), a continuación, $A_P \otimes_A A_Q$ debe ser sólo el cociente campo de $A$.
