Seno del argumento con gran n de aproximación

Question

He trabajado integral y la reducción de la integral para $$\frac{n \pi+\sin\left ( \frac{n \pi}{2} \right )-\sin\left ( \frac{3 \pi n}{2} \right )}{2n \pi}$$

Quiero mostrar que para $$n\rightarrow \infty$$ la ecuación anterior se reduce a $$\frac{1}{2}$$

Evidentemente, esto significa que el $2$ funciones de seno debe cancelar a la otra. Pero lo que es una buena manera de hacer esto? Un gran $n$ resultados en el seno de alternar entre el$-1$$1$. Observe que la función seno tendrá un signo opuesto al otro.

Answer 1

Divide el numerador y el denominador por $n$: $$ \frac{n\pi+\sin\left(\frac{n \pi}2\right)-\sin\left(\frac{3\pi n}2\right )}{2n\pi} = \frac{\pi+\frac{\sin\left(\frac{n\pi}2\right)}n-\frac{\sin\left(\frac{3\pi n}2\right )}n}{2\pi}\a\frac{\pi+0+0}{2\pi} = \frac12 $$ debido a $\sin$ es un almacén de función.

Answer 2

Los dos $\sin$ funciones que no se anulan entre sí. Tenemos $$\sin(nx) - \sin(3nx) \in [-2,2]$$ Por lo tanto, tenemos $$\dfrac{n\pi-2}{2n\pi} \leq \dfrac{n\pi + \sin(nx) - \sin(3nx)}{2n\pi} \leq \dfrac{n\pi+2}{2n\pi} $$ Ahora tome $n \to \infty$.

Answer 3

Primer aviso de que

$$\begin{align} \sin(\frac{3n\pi}{2})&=\sin(\frac{n\pi}{2}+n\pi) \\ &=\sin(\frac{n\pi}{2})\cos(n\pi)+\cos(\frac{n\pi}{2})\sin(n\pi) \\ &=\sin(\frac{n\pi}{2})\cos(n\pi)+0 \\ &=(-1)^n\sin(\frac{n\pi}{2}) \end{align}$$

y por lo tanto

$$\sin(\frac{n\pi}{2})-\sin(\frac{3n\pi}{2})=(1-(-1)^n)\sin(\frac{n\pi}{2})$$

La expresión anterior es $0$ o $2$ dependiendo $n$ es par o impar. Ahora, usted puede encontrar un enlace de fácil

$$0 \le (1-(-1)^n)\sin(\frac{n\pi}{2}) \le 2$$

Y, finalmente,

$$\frac{1}{2} \le \frac{n \pi+\sin\left ( \frac{n \pi}{2} \right )-\sin\left ( \frac{3 \pi n}{2} \right )}{2n \pi}\le \ \frac{1}{2} + \frac{1}{ n \pi}$$

Ahora, usted puede adivinar lo que pasa después! :)

Answer 4

SUGERENCIA:

$$\lim_{n\to\infty}\space\frac{n\pi+\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)-\sin\left(\frac{3\pi n}{2}\right)}{2\pi n}=$$ $$\lim_{n\to\infty}\space\left(\frac{1}{2}+\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{2\pi n}-\frac{\sin\left(\frac{3\pi n}{2}\right)}{2\pi n}\right)=$$ $$\lim_{n\to\infty}\space\frac{1}{2}+\lim_{n\to\infty}\space\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{2\pi n}-\lim_{n\to\infty}\space\frac{\sin\left(\frac{3\pi n}{2}\right)}{2\pi n}=$$ $$\frac{1}{2}+\lim_{n\to\infty}\space\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{2\pi n}-\lim_{n\to\infty}\space\frac{\sin\left(\frac{3\pi n}{2}\right)}{2\pi n}=$$ $$\frac{1}{2}+\frac{1}{2\pi}\lim_{n\to\infty}\space\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}-\frac{1}{2\pi}\lim_{n\to\infty}\space\frac{\sin\left(\frac{3\pi n}{2}\right)}{n}$$