Consideremos una función continua $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Que nos llame a $f$ débilmente convexasi $$ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)[\varphi(x+h)+\varphi(x-h)-2\varphi(x)]dx\geq 0 \etiqueta{1} $$ para todos los $h \in \mathbb{R}$ y todos los $\varphi \in C_0^\infty(\mathbb{R})$$\varphi \geq 0$. Me dijeron que $f$ es levemente convexa si, y sólo si, $f$ es convexa; aunque puedo imaginar que (1) es, esencialmente, la declaración de $f'' \geq 0$ en un sentido débil, no puedo encontrar una completa prueba. Es este conocido? ¿Hay alguna referencia?
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Dan
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Por un cambio de variables (traducción invariancia de medida de Lebesgue) dada la desigualdad puede ser equivalente a escribir como $$ \int a [f(x+h)+f(x-h)-2f(x)]\varphi(x)\,dx \geq 0 \qquad \text{para todo }0 \leq \varphi \C^{\infty}_0(\mathbb{R})\text{ todos }h \gt 0. $$ Si $f$ no eran de medio punto convexo, entonces no habría $x \in \mathbb{R}$ $h \gt 0$ tal que $f(x+h) + f(x-h) - 2f(x) \lt 0$. Por la continuidad de $f$ este debe ocupar en algún pequeño vecindario $U$$x$, por lo que tomar cualquier valor distinto de cero $\varphi \geq 0$ apoyado en $U$ produciría una contradicción con el supuesto de la desigualdad.
Por lo tanto, $f$ es punto medio convexo y, por tanto, convexo porque $f$ es continua.
Edit: a La inversa de la dirección debe ser claro: se sigue de $f(x+h) + f(x-h) - 2f(x) \geq 0$ para convexo $f$ y todos los $h \gt 0$, de modo que el integrando en el primer párrafo es no negativo.
Por último, el argumento anterior funciona sin cambio esencial para la continua $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$.
Si usted toma una familia simétrica mollifiers $\rho_\sigma$ compacta apoyado en $B_\sigma(0)$, y deje $f_\sigma = \rho_\sigma \ast f$ denotar la convolución de $f$$\rho_\sigma$, entonces para cualquier $\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R)$ que $\int f_\sigma \varphi = \int f \varphi_\sigma$. En particular $$\int f_\sigma(x) [\varphi(x+h)+ \varphi(x-h) - 2\varphi(x) ]= \int f(x) [\varphi_\sigma(x+h)+ \varphi_\sigma(x-h) - 2\varphi_\sigma(x) ] \ge 0$$ para $\varphi \ge 0$. Por lo tanto después de la sustitución y la multiplicación por $h^{-2}$$h\ne 0$, obtenemos $$\int \frac{f_\sigma(x+h)+f_\sigma(x-h) - 2f_\sigma(x) }{h^2} \varphi(x) \ge 0$$ Dejando $h\to 0$, se sigue de esto que $f_\sigma'' \ge 0$. Por lo $f_\sigma$ es convexa para todos los $\sigma > 0$. Por otro lado, desde la $f$ es continua, $f_\sigma \to f$ pointwise. Por lo $f$ es convexa, sí.
Por otro lado, si $f$ es convexa, entonces $f(x+h) - f(x) \ge f(x) - f(x-h)$, lo $f(x+h) + f(x-h) -2 f(x) \ge 0$. De esta forma la desigualdad de la siguiente manera.
