Análogos entre los adjuntos y conjugación

Question

Me han dicho que el adjunto de un operador se comporta mucho como complejo de la conjugación, y por lo que la auto-adjunto operadores son como los números reales. Alguien puede explicar esta analogía más en profundidad, o dar una referencia?

Por ejemplo, un corolario de la página. 129 de Axler del "Álgebra Lineal se Hace la Derecha", dice que la proposición de

$T$ es auto-adjunto iff $(Tv, v) \in \mathbb{R}$ por cada $v \in V$.

es un ejemplo de cómo uno mismo-adjoint operadores se comportan como los números reales. No veo de qué está hablando aquí, y me preguntaba si hay otras propuestas que ilustran paralelismos entre la auto-adjuntos a los operadores y los números reales.

Answer 1

Deje $T$ ser un operador habitual en un finito-dimensional espacio de Hilbert $H$. Por el teorema espectral, $T$ admite una base ortonormales de vectores propios. Si $\lambda_1, ... \lambda_n$ el valor de sus autovalores, a continuación, $T^{\ast}$ tiene los autovalores $\overline{\lambda_1}, ... \overline{\lambda_n}$. En particular, como Jonas menciona en los comentarios, el adjunto de la multiplicación escalar por $\lambda$ es la multiplicación escalar por $\bar{\lambda}$, y si $T$ es auto-adjunto, todos sus autovalores son reales.

Por otra parte, normal de cualquier operador $T$ puede ser escrito como la suma de sus "parte real" y "parte imaginaria"

$$T = \frac{T + T^{\ast}}{2} + \frac{T - T^{\ast}}{2}.$$

El primer término es auto-adjunto y tiene los autovalores $\text{Re}(\lambda_1), ... \text{Re}(\lambda_n)$. El segundo término es sesgar-adjoint (análogo a la puramente imaginaria) y tiene los autovalores $\text{Im}(\lambda_1), ... \text{Im}(\lambda_n)$. Ambos tienen los mismos vectores propios como $T$.

Existen niveles más profundos, en los que para entender esta analogía, pero no estoy seguro de lo útil que sería en este punto.

Answer 2

Ambos son *-operaciones.

Answer 3

En primer lugar, si $T$ es un operador lineal en un número finito de dimensiones interiores espacio del producto, y $B$ es un ortonormales de base para este espacio, a continuación,$[T^{\ast}]_B = [T]_B^{\ast}$, es decir, la representación de la matriz de los adjuntos es la conjugada transpuesta de la matriz de representación de la original del operador.

En segundo lugar, se observa que la si $\lambda \in \mathbb{R}$, $\langle \lambda v,v\rangle \in \mathbb{R}$ todos los $V$, mientras que si $\lambda \notin \mathbb{R}$, $\langle \lambda v,v\rangle$ nunca es real (excepto cuando se $v = 0$). Esto es parte de la analogía entre los números reales y la auto-adjuntos a los operadores.

Continuando con la analogía entre el complejo de la conjugación y adjoints, hay muchas formas en que los operadores unitarios (los operadores de $U$ satisfacción $UU^{\ast} = \mathrm{id}$) se comportan como unidad de longitud de los números (los números complejos $z$ satisfacción $zz^{\ast} = 1$).

Para más detalles, usted puede comprobar fuera de este folleto de la algebra lineal curso me enseñó este verano:

http://math.berkeley.edu/~akgupta/MAT110-Su11/hand4.pdf

Answer 4

Si un elemento $T$ del álgebra $M_n(\mathbb C)$ $n$a$n$ matrices con entradas complejas actúa como una transformación lineal del espacio vectorial $\mathbb C^n$ por la izquierda de la multiplicación de vectores columna, y si $\mathbb C^n$ tiene el estándar de producto interior, entonces $T^*$ es obtenido mediante la transposición de $T$ y tomando el complejo conjugado de cada entrada. En particular, si $T$ es una matriz diagonal, entonces $T$ es auto-adjunto, si y sólo si cada una de sus entradas es real. Esto lleva a los operadores en cualquier interior del espacio del producto, si miramos las matrices con respecto a una base ortonormales.

Aquí está una relacionada con el hecho de que no se menciona en la introducción del álgebra lineal supuesto, pero podría ser vale la pena mencionar aquí. Supongamos que $A$ es un álgebra conmutativa de lineal continua de los operadores sobre un producto interior espacio que $T^*$ $A$ siempre $T$$A$. A continuación, $A$ es isomorfo a un álgebra de complejo de funciones con valores en un conjunto, de tal manera que el medico adjunto en $A$ se convierte en pointwise compleja conjugación de funciones.