Si $u_k $ son todas positivas, y $\sum_{k>n} u_k < u_n $

Question

Si $u_k $ son todas positivas, y $\sum_{k>n} u_k \leq c u_n $$c>0$, y para todo n. Demostrar que no hay salidas de $b$, e $a $ positiva y $0 <a <1$ de manera tal que , $u_n\leq b a^n $ ?.

Mi solución parcial .

Es fácil mostrar $u_n\leq c^n u_1$ $n>1$

No estoy seguro de cómo pasar el caso a $n=1$, y ¿cómo puedo argumentar que $c <1$?

Answer 1

Definir la suma $$ S_n = \sum_{k=n}^\infty u_k, $$ then $S_1\geq S_2\geq \cdots\geq S_n$ and $u_n=S_n-S_{n+1}$. The condition $\sum_{k>n} u_k \leq c u_n$ se convierte en $S_{n+1}\leq c(S_n-S_{n+1})$ o, equivalentemente,$S_{n+1}\leq \frac{c}{c+1}S_n$. Por lo tanto $$ u_n \leq S_n \leq \frac{c}{c+1}S_{n-1} \leq \left(\frac{c}{c+1}\right)^2S_{n-2} \leq \cdots \leq \left(\frac{c}{c+1}\right)^{n-1}S_1=ba^n$$ por la elección de $$ a= \frac{c}{c+1},\ b = \frac{c+1}{c}S_1.$$