¿Por qué no puedo imaginar un teseracto?

Question

Me esfuerzo por "visualizar" (digamos "imaginar") un teseracto, pero no puedo.

Por qué ¿es que no puedo?

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Esta puede ser una pregunta para un estudioso de alguna otra disciplina y no para un matemático, por ejemplo, psicología (¿tema: cognición?), antropología, etc., pero estoy seguro de que está bien definida y puede responderse como pregunta.

Se podría responder con una definición de lo que puedo imaginar o la definición de lo que no puedo imaginar y por qué, por ejemplo.

Puede que haya alguna propiedad fundamental de nuestra geometría que limite lo que podemos representar, así que la pregunta puede interpretarse matemáticamente... de todas formas creo que no es una pregunta para rebotar sin pensar.

Concretamente: ¿qué es falta para que yo sea capaz de imaginar un teseracto? ¿Comprensión? ¿Un tipo diferente de cerebro, que procesa la información de otra manera?

¿Puede un matemático de élite visualizar un teseracto? Yo soy no invitando a una discusión, que sería off-topic. Solicito una respuesta meditada y articulada, si es posible.

Nota:

Ya he visto esta pregunta:

¿En qué sentido es un teseracto (mostrado) de 4 dimensiones?

y este vídeo:

http://www.youtube.com/watch?NR=1&feature=endscreen&v=uP_d14zi8jk

ya ha leído este enlace:

http://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract

y he estudiado matemáticas a nivel de cálculo, etc. y no encontré ninguna dificultad en razonar sobre números imaginarios, cantidades y/o series infinitas, demostraciones ad absurdum, etc.

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Me decepcionaría mucho que esta pregunta se calificara de "no constructiva", o algo por el estilo. Puedo aceptar que sea "fuera de tema" porque puede estar relacionada con cómo visualiza nuestro cerebro y no con alguna propiedad matemática que impida la visualización, pero realmente no debería considerarse "no constructiva". En realidad me ayudaría mucho comprender este enigma...

Answer 1

Gran sorpresa: nuestros cerebros evolucionaron en un entorno tridimensional y, por tanto, es lo que mejor se les da para pensar. Es fácil de visualizar porque literalmente lo vemos todo el tiempo .

Pensar en dimensiones superiores es más difícil porque no tenemos (¿poca?) experiencia directa con ellas, por lo que no existe un prototipo claro que la mayoría de la gente pueda utilizar como trampolín para visualizarlo.

Answer 2

De 2D a 3D

Para hacerme una idea del aspecto que podría tener un cubo cuádruple, empecé imaginando que era una entidad bidimensional en una página que contenía la proyección de un cubo tridimensional:

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

Cuando mi entidad 2D avanza en la (nueva) dirección 'perpendicular' a la 'espalda' de este extraño 3-cuadrado, el cuadrado del medio aparecerá más y más grande hasta reemplazar al cuadrado externo (un nuevo cuadrado se 'materializará' en el medio, parecerá crecer, y así sucesivamente...).
Observe que la entidad no se mueve en su cuadrado de apoyo y que este cuadrado simplemente avanzará en la dirección perpendicular sin cambiar de tamaño: ¡la parte que crece es sólo un efecto de la perspectiva!
Una entidad 3D real abarcaría un continuo de cuadrados paralelos contiguos.

Cruzar todo el espacio 3D :

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De 3D a 4D

Intentemos esto en 4D : consideramos un cubo 3D como el anterior y representamos un cubo más pequeño dentro del primero. De nuevo imaginamos que, a medida que avanzamos en la nueva dirección perpendicular, el cubo más pequeño crecerá hasta ocupar el lugar del más grande ; uno nuevo aparecerá en el centro, crecerá y así sucesivamente... También aquí permanecemos en una posición fija de nuestro cubo de apoyo que cruzará otros cubos idénticos mientras se mueve en la dirección perpendicular.
Una entidad 4D real debe ocupar un continuo de cubos contiguos.

Para moverte en 'full-4D' puedes imaginar que los cubos llenan todo el espacio 3D (generando una cuadrícula 3D).

Superpón a esta cuadrícula 3D otra más pequeña y paralela (o infinidad de más pequeñas y más grandes si quieres...) que tenga una unión en cada vértice con el vértice correspondiente de la más grande. Esto te dará una cuadrícula en 4D y a medida que te muevas en 4D la cuadrícula más pequeña ocupará el lugar de la más grande, una nueva cuadrícula pequeña saldrá de la 'niebla', crecerá y así sucesivamente...

( Variante de cuadrícula 4D )

Llegados a este punto, puedes imaginarte moviéndote en tu cubo 3D o girando a su alrededor (cambiando sólo el efecto de perspectiva) e incluso las más confusas rotaciones en 4D.

¡Excelentes visualizaciones!

Answer 3

Se puede considerar que los vértices de un teseracto están formados por el $16$ puntos de $\{0,1\}^4=\{(a,b,c,d) : a,b,c,d\in \{0,1\}\}$ . Dos vértices son adyacentes (conectados por una arista) si y sólo si sus coordenadas coinciden exactamente en un punto. Por ejemplo, $(0,1,1,0)$ es adyacente a cada uno de los cuatro vértices $(1,1,1,0), (0,0,1,0), (0,1,0,0), (0,1,1,1)$ .

Así pues, cada vértice tiene grado $4$ apuntando en direcciones mutuamente ortogonales. La dirección de una arista viene determinada por en qué coordenada discrepan sus vértices. Esto nos permite decir qué aristas son paralelas. Por ejemplo, la arista que une $(0,1,0,0)$ a $(0,1,1,0)$ es paralela a la arista que une $(1,0,0,0)$ a $(1,0,1,0)$ ya que en ambas aristas, los vértices discrepan en la tercera coordenada.

Answer 4

La clave de la respuesta a esta pregunta ya está en la palabra "visualizar": Contiene "visual", que se refiere a ver. De hecho, cuando visualizas algo, activas literalmente las mismas estructuras cerebrales que activarías al verlo. De hecho, en un sentido muy directo, lo pone delante de su "ojo interior". Tenga en cuenta que en "imaginar" también aparece la palabra "imagen", que también se refiere a ver.

Esto se puede comprobar en algunos autoexperimentos. En primer lugar, visualice un objeto común. Digamos una tetera. Cuando pones esta tetera delante de tu ojo interior, la ves igual que si la estuvieras mirando. En concreto, verás el exterior, pero no el interior (a no ser que entres mentalmente en la tetera imaginada, en cuyo caso verás el interior, pero no el exterior). También verás el lado que mira hacia ti, pero no el lado opuesto.

Ahora imagina que la tetera se hace cada vez más pequeña. Si la tetera encoge de verdad, al llegar al límite de tu visión perderá estructura hasta acabar siendo un puntito. Y te darás cuenta de que ocurrirá lo mismo con tu tetera imaginada. Ten en cuenta que estoy suponiendo que realmente la imaginas encogiéndose; por supuesto, puedes mantener su tamaño en tu imaginación y ponerle una "etiqueta mental" "así, pero mucho más pequeña". Pero no puedes imaginar, en sentido literal, una tetera microscópicamente pequeña con toda su estructura.

O dicho de otro modo, en sentido estricto, ni siquiera se puede visualizar el espacio euclidiano.

Ahora la respuesta a su pregunta es obvia: No se puede visualice el teseracto porque no se puede véase lo. Nuestros ojos hacen proyecciones del espacio tridimensional en los espacios bidimensionales de nuestras retinas, y luego nuestro cerebro interpreta esas dos imágenes. El teseracto no vive en ese espacio tridimensional proyectado en nuestras retinas.

¿Significa esto que no tenemos suerte? Pues no del todo. Aunque en la naturaleza no hay teseractos que ver, ni espacio cuatridimensional ampliado en el que colocarlos, podemos hacer un matemáticas proyección del teseracto en el espacio tridimensional, y luego utilizar los ordenadores y nuestro aparato visual (y, tras cierta experiencia, también nuestra imaginación) para hacer imágenes mentales de esas proyecciones, al tiempo que utilizamos nuestra comprensión abstracta junto con nuestra intuición/experiencia tridimensional sobre cómo se comportan las proyecciones de 3D a 2D, para interpretar esas proyecciones.

Utilizando este método, es posible, en efecto, desarrollar un cierto sentimiento por algunos aspectos de los objetos cuatridimensionales, como el teseracto. Sin embargo, hay que tener en cuenta que nunca será tan natural como la experiencia tridimensional para la que nuestro cerebro evolucionó explícitamente (porque nuestros antepasados no habrían sobrevivido sin una comprensión suficiente del espacio tridimensional).