convergencia uniforme en variables individuales implica la convergencia uniforme en general?

Question

Tengo una familia de funciones de $K_n : [0,1]^2 \to R$ que es continuo y simétrico, en el sentido de que $K_n(s,t) = K_n(t,s)$ todos los $s,t \in [0,1]$. Sé que, para fija $s$, $\sum_{n=1}^\infty K_n(s,\cdot)$ converge uniformemente a algunos $K(s,\cdot)$; la misma posee propiedad fija $t$.

Esto significa que $\sum_{n=1}^\infty K_n$ converge pointwise a$K$$[0,1]^2$. Pero ¿significa esto que $\sum_{n=1}^\infty K_n$ debe converger uniformemente a$K$$[0,1]^2$? Si es así, ¿por qué, si no, hay otras propiedades de la $K_n$ debe satisfacer para que esto se sostenga?

Answer 1

No se sostiene en general. No puedo construir propiedades adicionales que no son triviales para las que es titular, aunque. Antes de que le dé un contra-ejemplo permite que el cambio de los postes de la meta un poco para conseguir una mejor situación.

Considere la posibilidad de cualquier secuencia de funciones $f_n$ que convergen uniformemente. Definir $K_1:=f_1$, $K_n:= f_{n+1}-f_n$ para $n>1$, lo $\sum_n^NK_n=f_{N+1}$ y la cuestión de la convergencia uniforme de una serie es equivalente a la convergencia uniforme de una secuencia.

La condición de simetría también puede ser expulsado de la ventana mediante el uso de un reescalado $g: I\times I\to[0,\frac{1}{4}]\times[\frac{3}{4},1]$. Desde $g$ es uniformemente continua $f_n \circ g$ converge uniformemente a $f \circ g$. De esta manera usted puede conseguir cualquier función en la plaza.

Así que la situación que tenemos es una secuencia de funciones continuas $f_n(t,s)$ $I\times I$ y una función de $f(t,s)$ continua en ambas variables, de modo que $\sup_s (f_n(t,s)-f(t,s) )$ $\sup_t (f_n(t,s)-f(t,s))$ convergen pointwise a cero.

La contra-ejemplo, a continuación:

$$f_n(t,s) := \frac{nts}{1+n^2(t^4+s^4)}$$

Estas funciones son continuas. Convergen a cero pointwise y en este caso también son simétricas. Tan sólo necesitamos demostrar $\sup_s f_n(t,s)$ converge a cero para cualquier $t$. Pero $0≤f_n(t,s)≤\frac{nt}{1+n^2t^4}$, lo $\sup_s f_n(t,s)$ hace converger a cero para todos los $t$.

Sin embargo $f_n(\frac{1}{\sqrt n},\frac{1}{\sqrt n})=\frac{1}{3}$ no converge a cero, como se $n\to\infty$, por lo que la secuencia no convergen uniformemente a 0.