Una pregunta sobre las matrices invertibles, $A,B$ son matrices invertibles, $AB+BA=0$ , demuestre que n es par

Question

Dejemos que $A,B\in M_n(\mathbb R)$ sean matrices invertibles, y que $AB+BA=0$ , demuestre que n es par.

Sé cuál es la solución: $AB=-BA\Rightarrow |1|=(-1)^n|1|\Rightarrow \text{n is even}$ .

Entonces sabemos que toda matriz invertible digamos $C$ sólo tiene una matriz, digamos $D$ tal que, $CD=DC=I$ , pero en esta pregunta no dice si $A$ y $B$ son matrices tales que son únicas entre sí, por lo que podemos suponer que $AB=BA=I$ ?

Answer 1

Si escribe su relación $$ ABA^{-1}=-B $$ se consigue que $$\det B=\det(-B).$$ Ahora bien, ¿qué se puede decir de $\det(aB)$ , donde $a$ es un escalar?

Answer 2

Sólo tienes que utilizar el hecho de que $$\det(\alpha\cdot A)=\alpha^n\cdot\det(A)$$ para un escalar $\alpha\in F$ y $A\in M_n(F)$ .

Así que tienes $$\det(AB)=\det(-BA)=(-1)^n\det(BA)$$ pero como $\det(BA)=\det(AB)$ se obtiene $$\det(AB)=(-1)^n\det(AB)$$ por lo que $(-1)^n=1$ y por lo tanto $n$ debe ser uniforme.

Answer 3

Tenemos : \begin{align*} & AB+BA=0 \implies AB=-BA \\ & \implies det(AB)=det(-BA)=(-1)^n det(BA)=(-1)^n det(AB)\\ \end{align*} Sabemos que $A, B \in GL_n(\mathbb K)$ . Entonces, $AB, BA \in GL_n(\mathbb K)$ . Como resultado, $det(AB), det(BA) \ne 0$ . Finalmente, $(-1)^n=1$