Tres construcciones.
1. La existencia de $\coprod_i G_i$ significa que el functor $\prod_i \hom(G_i,-) : \mathsf{Grp} \to \mathsf{Set}$ es representable, que es una aplicación fácil de Freyd del Criterio de Representatividad (ver Mac Lane libro, V. 6). De hecho, $\mathsf{Grp}$ es completa, el functor preserva límites (porque es un límite de tales functors), por lo que sólo tenemos que verificar que el Conjunto de soluciones Condición: Dado un grupo de $H$ equipada con homomorphisms $G_i \to H$, vamos a $H' \leq H$ ser el subgrupo generado por todas las imágenes. A continuación,$|H'| \leq \aleph_0 \sum_i |G_i|$. Por lo tanto, hasta isomorfismo, no es sólo un conjunto de tales $H'$. QED
2. Si usted ya sabe que el libre existen grupos (que también es una aplicación fácil de Freyd del Functor Adjunto Teorema): Vamos a denotar con $U(-)$ el conjunto subyacente de un grupo (esta distinción es importante!), y con $F(-)$ libre de un grupo sobre un conjunto (por lo tanto, $F$ que queda adjunto a $U$). Considere la posibilidad de la libre grupo en la inconexión de la unión (es decir, subproducto) de la base de conjuntos, $F(\coprod_i U(G_i))$. Para cada $j$ tenemos un mapa de conjuntos de $\iota_j : U(G_j) \to U(F(\coprod_i U(G_i)))$. No levante a un homomorphism $G_j \to F(\coprod_i U(G_i))$. Así que vamos a la fuerza por este modding a cabo las correspondientes relaciones: Considerar el menor subgrupo normal de $F(\coprod_i U(G_i))$ contiene $\iota_j(xy)^{-1} \iota_j(x) \iota_j(y)$ todos los $j$$x,y \in U(G_j)$. El cociente por ese subgrupo es un subproducto $\coprod_i G_i$.
3. Usted escribe:
Supongamos que definimos $ \ast_{i \in I} G_i$ a ser el grupo dada por la presentación de $\langle \coprod_{i \in I} S_i | \coprod_{i \in I} R_i \rangle$ donde, para cada $i \in I$, $\langle S_i | R_i \rangle$ es una presentación para $G_i$. ¿Cómo podemos demostrar que este hecho es un subproducto? Específicamente, ¿cómo podemos describir de la canónica de las inyecciones?
Aviso que este es básicamente el mismo que el de la segunda construcción que me dio anteriormente. Es un poco más general, sin embargo.
Recordar lo que una presentación a un grupo que realmente es: $\langle S|R \rangle$ es el grupo de la satisfacción de las siguientes universal de los bienes: Un homomorphism en $\langle S|R \rangle$ es sólo un mapa en $S$ que satisface las relaciones en $R$. Por ejemplo, un homomorphism en $\langle x : x^n=1 \rangle$ es sólo un $n$-torsión del elemento.
Por lo tanto, un homomorphism en $\langle \coprod_i S_i | \coprod_i R_i \rangle$ (a un grupo) es un mapa en $\coprod_i S_i$ que satisface las relaciones en $\coprod_i R_i$. Pero (por la característica universal de $\coprod$$\mathsf{Set}$) este es el mismo como una familia de mapas en la $S_i$ que satisfacen las relaciones en $R_i$. Estos corresponden a homomorphisms en $\langle S_i | R_i \rangle$. Por lo tanto, $\langle \coprod_i S_i | \coprod_i R_i \rangle$ cumple la característica universal de $\coprod_i \langle S_i | R_i \rangle$.
La prueba también muestra lo que el subproducto de inclusión $\langle S_j | R_j \rangle \to \coprod_i \langle S_i | R_i \rangle$ es de: mapas de un generador en $S_j$ a la correspondiente generador en $\coprod_i S_i$.
Observación: Todos estos tres pruebas de trabajo para arbitrario, estructuras algebraicas, así como para arbitrario colimits. Por lo tanto, cada algebraicas categoría es cocomplete.
La estructura del elemento.
Muchos de los lectores pueden pensar: "bien, todos los de este resumen tonterías que hace posible la construcción de co-productos de los grupos con bastante facilidad, pero con el fin de demostrar algo, muchas veces tenemos la estructura de los elementos. Es mejor definir el conjunto de reducción de palabras directamente y, a continuación, dotarlo de una estructura de grupo!" Primero de todo, es un dolor en el culo para comprobar el grupo de axiomas directamente, ya que la multiplicación se define por casos. En segundo lugar, el universal propiedad hace posible derivar la estructura de los elementos:
Deje $G' \leq \coprod_i G_i$ ser el subgrupo generado por las imágenes de todas las subproducto inclusiones $\iota_i : G_i \to \coprod_i G_i$. Las inclusiones $G_i \to G'$ inducir un homomorphism $\coprod_i G_i \to G'$, y claramente $\coprod_i G_i \to G' \to \coprod_i G_i$ es la identidad. Por lo tanto, $G' \to \coprod_i G_i$ es surjective, es decir, $G:=\coprod_i G_i$ es generado por las imágenes de todas las $\iota_i$. De ello se desprende que cada elemento de a $G$ tiene la forma $\iota_{i_1}(g_{i_1}) \cdot \dotsc \iota_{i_n}(g_{i_n})$. Podemos suponer que la $i_k \neq i_{k+1}$ (de otra manera recopilar ellos) y que $g_{i_k} \neq 1$ (de lo contrario dejan de hacerlo). Ya que no hay otra simplificación en la vista, nuestra conjetura es que esta descomposición es única.
Así que vamos a definir el conjunto de $S$ (formal) reducción de palabras como todos los $(g_{i_1},\dotsc,g_{i_n})$ donde $i_k$ son índices (que pertenecen a los datos) con $i_k \neq i_{k+1}$$g_j \in G_j$. Esto incluye la palabra vacía $(~)$. Tenga en cuenta que cada una de las $G_i$ actúa en $S$ a través de
$g (g_{i_1},\dotsc,g_{i_n}) := \left\{\begin{array}{ll} (g_{i_1},\dotsc,g_{i_n}) & g=1 \\ (g g_{i_1},\dotsc,g_{i_n}) & g \neq 1, g g_{i_1} \neq 1, i = i_1 \\ (g_{i_2},\dotsc,g_{i_n}) & g \neq 1, g g_{i_1}=1, i = i_1 \\ (g,g_{i_1},\dotsc,g_{i_n}) & g \neq 1, i \neq i_1\end{array}\right.$
Por desgracia, la propiedad $(gh)s=g(hs)$ aún necesita un poco de cálculo. Las acciones corresponden a homomorphisms $G_i \to \mathrm{Sym}(S)$, que por el universal de la propiedad de inducir un homomorphism $G \to \mathrm{Sym}(S)$, por lo que el $G$ actúa en $S$. Para una reducción de elemento $g = \iota_{i_1}(g_{i_1}) \cdot \dotsc \iota_{i_n}(g_{i_n})$ tenemos $g(~) = (g_{i_1},\dotsc,g_{i_n})$. Por lo tanto, la descomposición es única.
