La División Exacta De Las Secuencias De

Question

Dada una secuencia exacta de los espacios vectoriales: $$0\longrightarrow U \longrightarrow V \longrightarrow W\longrightarrow 0$$ with $f:U\rightarrow V$ and $g: V \rightarrow W$

Yo quiero probar el de que los siguientes son equivalentes:

$\bullet$ La secuencia se divide en derecho ($\exists s:W\rightarrow V$ tal que $g\circ s =1_W$)

$\bullet$ La secuencia de divisiones en la izquierda ($\exists t: V\rightarrow U$ tal que $t\circ f=1_U$)

$\bullet$ $\exists\gamma : V\rightarrow U\oplus W$ un isomorfismo de satisfacciones $\gamma \circ f=i_1$$p_2\circ \gamma=g$. Donde $i_1$ $p_2$ son los habituales de la inclusión y la proyección en el primer y segundo sumando respectivamente.

Así exactitud nos da ese $f$ es de 1:1 y $g$ a, por lo que claramente existe una función con la propiedad de la segunda viñeta, pero no puedo entender cómo sabes que es lineal en todos los de $V$ (o cómo esto se utiliza cualquiera de los supuestos de la primera viñeta.) Estoy más confundido acerca de los últimos dos implicaciones. Realmente no sé por dónde empezar con aquellos que por desgracia...

Edit: Se dice de manera explícita que se supone que debo evitar el uso de cualquier cosa sobre bases aquí! Por alguna razón...

Answer 1

(1) La secuencia se divide en derecho ($\exists s:W\rightarrow V$ tal que $g\circ s =1_W$)

(2) La secuencia se divide en la izquierda ($\exists t: V\rightarrow U$ tal que $t\circ f=1_U$)

(3) $\exists\gamma : V\rightarrow U\oplus W$ un isomorfismo de satisfacciones $\gamma \circ f=i_1$$p_2\circ \gamma=g$. Donde $i_1$ $p_2$ son los habituales de la inclusión y la proyección en el primer y segundo sumando respectivamente.

(1) $\Rightarrow$ (3):

Deje $x \in V$. $g(x - sg(x)) = g(x) - g(x) = 0$. Por lo tanto, no existe $y \in U$ tal que $x - sg(x) = f(y)$. Por lo tanto $V = f(U) + s(W)$. Deje $a \in f(U) \cap s(W)$. Existen $u \in U, w \in W$ tal que $a = f(u) = s(w)$. $g(a) = g(f(u)) = gs(w) = w$. Por lo tanto $w = 0$. Por lo tanto $a = s(w) = 0$. Por lo tanto,$V = f(U) \oplus s(W)$.

(3) $\Rightarrow$ (1): Claro.

(2) $\Rightarrow$ (3):

Deje $K = Ker(t)$. Deje $x \in V$. $t(x - ft(x)) = t(x) - t(x) = 0$. Por lo tanto $x - ft(x) \in K$. Por lo tanto $V = f(U) + K$. Deje $a \in f(U) \cap K$. Existen $u \in U, k \in K$ tal que $a = f(u) = k$. $t(a) = tf(u) = u = t(k) = 0$. Por lo tanto $a = f(u) = 0$. Por lo tanto $V = f(U) \oplus K$. Queda por demostrar que $g|K\colon K \rightarrow W$ es un isomorfismo. Supongamos $g(k) = 0$ donde $k \in K$. Existe $u \in U$ tal que $k = f(u)$. Desde $0 = t(k) = tf(u) = u$, $k = 0$. Por lo tanto $g|K$ es inyectiva. Deje $w \in W$. Existe $x \in V$ tal que $w = g(x)$. A continuación,$x - ft(x) \in K$$g(x - ft(x)) = g(x) = w$. Por lo tanto $g|K$ es surjective.

(3) $\Rightarrow$ (2): Claro.