Demostrar que $e^\frac{x+y}{2} < \frac{1}{2}(e^x+e^y)$ para $x\neq y$

Question

¿Debo utilizar la expansión en serie de Taylor de la función exponencial?

Answer 1

Por AM-GM,

$$a=e^x,\space b=e^y$$ $$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}2$$ $$e^{\frac{x+y}2}\le \frac{e^x+e^y}2$$ La igualdad se produce cuando $x=y$ Así pues, para $x\ne y$ sólo $<$ se mantendrá.

Answer 2

En general, si $f''>0$ y $x>y$ entonces existe $a\in ([x+y]/2,x)$ y $b\in (y,[x+y]/2)$ y $c\in (a.b)$ tal que $$[f(x)+f(y)]/2 -f([x+y]/2)=$$ $$[f(x)-f([x+y]/2)]/2-[f([x+y]/2)-f(y)]/2=$$ $$=[(x-y)f'(a)]/4-[(x-y)f'(b)]/4=(x-y)^2f''(c)/4>0.$$