Lema sobre la integral de una función con soporte compacto

Question

El lema 16.4 (p. 140) de Munkres Análisis en colectores dice:

Dejemos que $A$ estar abierto en $\mathbb{R}^n$ ; deja que $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ sea continua. Si $f$ desaparece fuera de un subconjunto compacto $C$ de $A$ entonces las integrales $\int_A f$ y $\int_C f$ existen y son iguales.

El primer paso en su demostración es decir que la integral $\int_C f$ existe porque $C$ está acotado y $f$ es continua y acotada en todo $\mathbb{R}^n$ .

Pero no necesitas $C$ sea rectificable (es decir, que esté acotado y que el límite tenga medida $0$ ) para la integrabilidad? El conjunto cantor gordo es compacto pero no rectificable, por lo que la integral sobre él no existirá.

Answer 1

Creo que el teorema 13.5 del mismo libro puede ser útil en este caso. Las condiciones establecidas en el lema implican que $f$ es continua en $\partial C$ . Como se desvanece fuera de $C$ el límite debe ser $0$ en todos los puntos de $\partial C$ . Por lo tanto, $f$ y $C$ satisfacen las condiciones del Teorema 13.5.

Es un poco extraño que Munkres no ofrezca más explicaciones, ya que no es nada escueto en la mayor parte del material anterior. Por otra parte, el argumento anterior podría considerarse probablemente estándar a estas alturas del libro.

Answer 2

Eso depende de la teoría de la integración que tengas a tu disposición. La integración basada en la medida de Jordan (es decir, la integral múltiple de Riemann) tiene efectivamente problemas cuando los conjuntos tienen límites "gordos". Pero para la integral de Lebesgue la frontera no es un problema. Como todo conjunto de Borel es medible por Lebesgue, podemos integrar cualquier función de Borel acotada sobre cualquier conjunto de Borel acotado. Esto cubre el caso de $f$ que se está integrando a través de $C$ .

Answer 3

Estoy leyendo "Analysis on Manifolds" de James R. Munkres.

Mi respuesta es la misma que la de Shavak Sinanan.
Pero escribiré el enunciado del teorema 13.5.

Teorema 13.5. en la página 109:
Dejemos que $S$ sea un conjunto acotado en $\mathbb{R}^n$ .
Dejemos que $f : S \to \mathbb{R}$ sea una función continua acotada.
Dejemos que $E$ sea el conjunto de puntos $x_0$ del límite de $S$ para el que la condición $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ no se sostiene.
Si $E$ tiene medida cero, entonces $f$ es integrable sobre $S$ .

Desde $C$ es compacto, $C$ es un conjunto acotado en $\mathbb{R}^n$ .
Desde $f$ es continua en $A$ y $C\subset A$ , $f\vert_C$ es continua en $C$ .
Desde $C$ es compacto y $f\vert_C$ es continua en $C$ , $f\vert_C$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo en $C$ .
Así que, $f\vert_C:C\to\mathbb{R}$ es una función continua acotada.
Dejemos que $x_0\in \operatorname{Bd}C$ .
Si $x_0$ no es un punto aislado de $C$ entonces $\lim_{x\to x_0}f\vert_C(x)=\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ .
Desde $f$ se desvanece en el exterior $C$ y cualquier vecindad de $x_0$ contiene un punto en $A-C$ , $f(x_0)=0$ .
Así que, $\lim_{x\to x_0}f\vert_C(x)=0$ .
Así, el conjunto de puntos $x_0$ del límite de $C$ para el que la condición $\lim_{x \to x_0} f\vert_C(x) = 0$ no se sostiene es $\emptyset$ .
Desde $\emptyset$ tiene medida cero, $f\vert_C$ es integrable sobre $C$ por el Teorema 13.5.
Así que, $\int_C f\vert_C$ existe.