Langley's Ángulos Adventicios

Question

El siguiente es un acertijo de geometría de un libro de matemáticas escolar. Aunque ha pasado mucho tiempo desde que terminé la escuela, recuerdo bastante bien este acertijo y no tengo una solución elegante para él.

Así que aquí está el acertijo:

Se sabe que el triángulo $ABC$ es isósceles, es decir, $AC=BC$. Se conoce que los ángulos etiquetados son $\alpha=\gamma=20°$, $\beta=30°$. La tarea es encontrar el ángulo etiquetado "?".

La única solución que conozco es utilizar la fórmula del seno y la fórmula del coseno varias veces. De esto se puede obtener una solución numérica. Además, se puede demostrar algebraicamente que este número es correcto (todos los senos y cosenos están contenidos en el subcampo real del 36º campo cíclotómico). Por lo tanto, en este sentido, resolví el problema, pero la solución es una especie de ataque de fuerza bruta (por ejemplo, algunos de los polinomios que aparecen en la computación tienen coeficientes > 1000000). Dado que el acertijo proviene de un libro que trata solo con geometría elemental (y ni siquiera trigonometría si recuerdo correctamente), tiene que haber una solución más elegante.

Answer 1

Esta prueba sigue la primera prueba de Seyed pero con el punto $D'$ construido como la intersección de $CE$ producido y la línea a través de $B$ paralela a $AC$. Es claro que $\angle BD'C=30^\circ$. Recordando que $\sin30^\circ=\frac12$, $\sin50^\circ=\cos40^\circ$, y $\sin80^\circ=2\sin40^\circ\cos40^\circ$. Luego, aplicando la regla del seno a los triángulos $BDC$ y $BD'C$ tenemos $$|BD'|=|BC|\frac{\sin50^\circ}{\sin30^\circ}=2|BC|\cos40^\circ=|BC|\frac{\sin80^\circ}{\sin40^\circ}=|BD|.$$ Por lo tanto, los triángulos $BDE$ y $BD'E$ son congruentes, y así $\angle BDE=\angle BD'E=30^\circ$.