Supremo y mínimo de$\{\frac{1}{n}-\frac{1}{m}:m, n \in \mathbb{N}\}$

Question

Me gustaría comprobar mi prueba de lo siguiente:

Deje $A=\{\frac{1}{n}-\frac{1}{m}:m, n \in \mathbb{N}\}$. Quiero mostrar que la $-1$ $1$ son el infimum y supremum respectivamente.

Primero voy a mostrar que $-1$ es el infimum. Para mostrar esto me va a demostrar que es de hecho un límite inferior. Observar: $$\frac{1}{n}-\frac{1}{m} \geq \frac{1}{n}-1 \geq -1.$$

Yo ahora dicen que $-1$ es la mayor cota inferior. Así que, por el de arquímedes de la propiedad, existe un $x \in \mathbb{R}$, $x>0$ y $n' \in \mathbb{N}$ tal que $1<n'x$. Por lo tanto, $\frac{1}{n'}<x$ y $$\frac{1}{n'}-1<x-1.$$ From the above it is clear that $\frac{1}{n}-1 \en$. Also, it is clear that $-1<-1+x$.

Deje $y=\inf(A)$. Así que vamos a $$-1<y\leq-1+x.$$ By completeness there exists an $r\in\mathbb{Q}$ such that $$-1<r<y\leq-1+x.$$ Thus $de$ y no es el infimum.

Yo iba a la nota que el supremum fue 1 a través de la relación entre el $$\inf(A)=-\sup(-A).$$

Answer 1

• $A=B-B$ dónde y $B=\{\frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\}$.

• $X-Y=\{x-y: x \in X, y \in Y\}$,$\inf B=0$. ($\sup B=1$ es la propiedad de Archimedean.)

• $\inf B=0$ implica$\inf (X-Y) = \inf X - \sup Y$.
• $\inf A = \inf B - \sup B = 0 - 1 = -1$ implica$\sup (X-Y) = \sup X - \inf Y$.

Answer 2

No creo que usted está utilizando el arquímedes de la propiedad en una manera significativa. La idea de que no existe un número $x$ con las propiedades que usted describe es trivial, tome $x=1$$n'=2$. Eso no ayuda con su prueba.

Lo que es más significativo es que para todos los números reales positivos $x$ podemos encontrar una $n'\in\mathbb N$ (basado en el $x$) tal que $1<n' x$. Desde la prueba de no hacer esta declaración, la mayoría de lo que viene después de su uso de la propiedad de arquímedes necesita algunos ajustes.

Que hacer con éxito demostrar que $-1$ es un límite inferior. Si yo se acercaban a la prueba (y esto depende en gran medida de lo que los teoremas que ya se ha demostrado) yo sugeriría suponiendo que $y$ es mayor el límite inferior de $-1$ y deducir que no debe ser un elemento de $A$$-1$$y$, lo cual es una contradicción.

Edit, en respuesta a la OP a editar: La prueba de realidad no hace uso de la arquímedes propiedad de todos modos. Se invoca a crear este número $-1+x$, pero la prueba no hace uso real de este número, de todos modos. Se puede prescindir de todo eso, sólo suponiendo que $y$ es mayor el límite inferior de $-1$, lo $-1<y$$\forall x \in A,\, y\le x$.

Ahora intenta demostrar que no debe ser un elemento de $A$ menos de $y$ (que voy a dejar a usted a hacer). Se nota que no es suficiente para mostrar que sólo hay algún número racional entre el$-1$$y$, los elementos de $A$ tomar una forma particular.