¿Cuál es la expectativa de la exponencial del producto de dos variables aleatorias?

Question

Estoy buscando ejemplos de distribuciones de probabilidad que me permitan caracterizar la distribución (al menos aproximadamente) y calcular los dos primeros momentos exactamente de:

$$ e^{aXY} $$

donde $a$ es un real positivo y $X$ y $Y$ son variables aleatorias escalares definidas en la recta real positiva y distribuidas conjuntamente con media/varianza $(\mu_{X},\sigma^2_{X})$ y $(\mu_{Y},\sigma^2_{Y})$ y la covarianza $\sigma_{XY}$ .

Cualquier sugerencia será bienvenida. Estoy buscando ejemplos, así que espero que haya más de un enfoque para esto.

Answer 1

Estoy introduciendo esto como una "respuesta" a mi propia pregunta aunque probablemente no sea una gran respuesta. Pero espero que esto ayude a mostrar lo que busco. Lo editaré o lo borraré si me lo piden. Edición: Esto es todavía un trabajo en progreso. Probablemente debería mencionar que Stat-R, cardinal, StasK, y Macro me han guiado en cada paso del camino hasta ... donde me he detenido ahora. Por favor, siéntase libre de editar/corregir este borrador.

Estoy buscando ejemplos de distribuciones conjuntas de los rvs dependientes $X$ y $Y$ tal que (1) la distribución puede ser caracterizada, al menos aproximadamente, (2) lo siguiente puede ser calculado exactamente: $$ E[e^{aXY}] $$

Ejemplo 1. Sea: $$ X = x + \epsilon $$ $$ Y = y + \epsilon $$ $$ \epsilon \sim \mathcal{N}(0,\sigma^{2}) $$ donde $x$ y $y$ son números reales fijos (los medios conocidos de $X$ y $Y$ ).

Observación: $$ e^{\epsilon} \sim \mathcal{LN}(0,\sigma^{2}) $$ $$ E[e^{\epsilon}]=e^{\sigma^{2}/2} $$ Se deduce de una sustitución de $x+\epsilon$ y $y+\epsilon$ en $XY$ eso: $$ E[e^{aXY}] = e^{axy} \times E[e^{a(x+y)\epsilon} e^{a\epsilon^{2}}] $$

Edición: El $\epsilon^{2}$ no es despreciable, como se explica en los comentarios. Así,

$$ E[e^{aXY}] = e^{axy} \times E[e^{a(x+y)\epsilon}] \times E[e^{a\epsilon^{2}}] + e^{2axy} \times COV[e^{a(x+y)\epsilon},e^{a\epsilon^{2}}] $$

La primera expectativa de la derecha: $$ E[e^{a(x+y)\epsilon}] = e^{a^{2}(x+y)^{2}\sigma^{2}/2} $$

La segunda expectativa en el rhs presenta el cuadrado de una Normal, que es un Chi-cuadrado. Editar: Me han mostrado, en los comentarios, cómo calcular la expectativa explotando el hecho de que es una evaluación de la MGF de un chi-cuadrado, ya que $(\epsilon/\sigma)^{2}\sim\chi_{1}^{2}$ . Por lo tanto, $$ E[e^{a\epsilon^{2}}] = (1-2a/\sigma^{2})^{-k/2} = 1/\sqrt{1-2a/\sigma^{2}}, \ a < \sigma^{2}/2 $$ donde $k$ denota los grados de libertad, que en este caso es $k=1$ ya que el chi-cuadrado se obtiene de $1$ Normal al cuadrado. Si $a>\sigma^{2}/2$ entonces la expectativa diverge.

Por último, el término de covarianza. Creo que aquí tengo que calcular esto a partir de la integral, espero que algunos resultados conocidos puedan ser utilizados en el camino. Si alguien sabe cómo terminar esto sería genial, pero estoy atascado.