Primero de todos, el resultado que usted está tratando de demostrar que no es cierto como se dice. Esto sólo es cierto si se restringen $\mathcal{C}$ a la categoría de $k$-lineal colimit-la preservación de functors. En segundo lugar, usted no necesita un natural mapa de $M\otimes_k G(R)\to M$; usted necesita un natural mapa de $M\otimes_k G(R)\to G(M)$.
Para construir un mapa, primero considere el caso de $M=R$. En ese caso, tenga en cuenta que $R$ actúa sobre sí mismo (como un módulo) por multiplicación, y así desde $G$ es un functor, $R$ actúa en $G(R)$. Además, desde el $G$ $k$- lineal, esta acción es compatible con la $k$-espacio vectorial estructura en $G(R)$ e las $k$-álgebra estructura en $R$ (es decir, los elementos de $R$ que están en $k$ acto por el producto escalar en el espacio vectorial $G(R)$). Esto nos da un $k$-bilineal mapa de $R\times G(R)\to G(R)$, y por lo tanto una $k$-lineal mapa de $R\otimes_k G(R)\to G(R)$.
Ahora vamos a $M$ ser arbitraria módulo. Tenga en cuenta que $M$ puede canónicamente construido a partir de $R$ por colimits: la canónica de presentación de $M$ $R$- módulo expresa $M$ como cokernel de un mapa entre los co-productos de copias de $R$. Tenga en cuenta que tanto $M\mapsto M\otimes_k G(R)$ $M\mapsto G(M)$ preservar colimits, y así aplicarlos a estos colimits que construyen $M$$R$, vemos que nuestro mapa de la $R\otimes_k G(R)\to G(R)$ induce un mapa de $M\otimes_k G(R)\to G(M)$. Este es functorial en $M$ porque nuestra expresión de $M$ como colimit es functorial en $M$ (si elegimos canónica de la presentación).
Un poco más explícitamente, hay functors $U,V:R\text{-mod}\to Set$ y una secuencia exacta $$\bigoplus_{V(M)} R\to \bigoplus_{U(M)} R\to M\to 0$$ which is natural in $M$ (here $U(M)$ is just the underlying set of $M$, and $V(M)$ is the underlying set of the kernel of the natural map $\bigoplus_{U(M)} R\a M$). Since $M\mapsto M\otimes_k G(R)$ and $M\mapsto G(M)$ preserve colimits, there are exact sequences $$\bigoplus_{V(M)} R\otimes_k G(R)\to \bigoplus_{U(M)} R\otimes_k G(R)\to M\otimes_k G(R)\to 0$$ and $$\bigoplus_{V(M)} G(R)\to \bigoplus_{U(M)} G(R)\to G(M)\to 0,$$ natural in $M$. Our map $R\otimes_k G(R)\G(R)$ da natural mapas entre los dos primeros términos de estas secuencias que hacer el diagrama de
$$\requieren{AMScd}
\begin{CD}
\bigoplus_{V(M)} R\otimes_k G(R) @>>> \bigoplus_{U(M)} R\otimes_k G(R) @>>> M\otimes_k G(R) @>>> 0\\
@V{}VV @V{}VV \\
\bigoplus_{V(M)} G(R) @>>> \bigoplus_{U(M)} G(R) @>>> G(M) @>>> 0
\end{CD}$$
conmutar (el hecho de que el diagrama de desplazamientos viene del hecho de que el mapa de $R\otimes_k G(R)\to G(R)$ no es sólo $k$-lineal, sino $R$-lineal, donde $R$ actúa sobre la primera coordenada de $R\otimes_k G(R)$ y en $G(R)$ como se describió anteriormente). Por la exactitud de las filas, entonces existe un único mapa $M\otimes_k G(R)\to G(M)$, lo que hace que todo el diagrama conmuta.
