Las funciones de Bessel en la resolución de la ODE de segundo orden

Question

Tenemos la siguiente ecuación: $$ v''(r)+ \frac {1}{r} v'(r) - w v(r)=0, \quad 0 < r < ε; \\ v'(0)=0, $$ donde $w$ es una constante positiva.

Para resolver este problema, introducimos una nueva variable independiente $ \xi = \sqrt {w} r$ y una nueva función $z( \xi )= v(r)$ . Luego $$ v'(r)= \sqrt {w} z'( \xi ), \quad v''(r)= w z''( \xi ), \\ z''( \xi )+ \dfrac {1}{ \xi } z'( \xi )- z( \xi )=0, \quad 0 < \xi < ε \sqrt {w}, \\ z'(0)=0. $$ Deje que $ \zeta = i \xi (i= \sqrt {-1})$ . Luego $$ y''( \zeta )+ \dfrac {1}{ \zeta } y'( \zeta )+ y( \zeta )=0, \quad 0 < | \zeta | < ε \sqrt {w}. $$ Tenemos $$ y( \zeta )= C J_0( \zeta ), $$ donde $J_0$ es la función de Bessel del orden cero. Usaremos la expansión asintótica $$ J_0( \zeta )=1- \dfrac { \zeta ^2}{2^2}+ \frac { \zeta ^4}{2^2 \cdot 4^2}- \cdots $$ La solución del problema escribe $$ z( \zeta )= y( \zeta )= C J_0(i \xi )= C \left (1+ \frac { \xi ^2}{2^2}+ \dfrac { \xi ^4}{2^2 \cdot 4^2}+ \cdots \right ). $$

Mis preguntas son: no entiendo el método utilizado para resolver este problema y por qué y cómo introducimos las funciones de Bessel?

Answer 1

La ecuación diferencial de Bessel puede ser resuelto a través del método de las series de energía de Frobenius y una solución para $n=0$ está dada por la función completa $$ J_0(z)= \sum_ {m \geq 0} \frac {(-1)^m\,x^{2m}}{4^m m!^2} $$ relacionado con las series de Fourier de $ \arcsin (x)$ . No es una función elemental en sentido estricto, pero es una función realmente importante para tratar algunas ecuaciones diferenciales (especialmente algunas ecuaciones diferenciales que involucran al operador lapón) y merece con seguridad ser estudiada, como la $ \Gamma $ o función Beta.

Dicho esto, la solución mostrada sólo realiza un cambio de variable para convertir la ecuación diferencial dada en una ecuación diferencial de Bessel. Las soluciones dependen de $J_0$ y no hay nada que podamos cambiar al respecto.

Answer 2

Su ecuación puede ser escrita como $$ r^2 v''(r)+rv'(r)-wr^2 v(r) = 0. $$ Usted está interesado en soluciones para $w > 0$ . Resulta que, si encuentras una solución $f(r)$ para $w=1$ Entonces $v(r)=f( \sqrt {w}r)$ es una solución para el general $w > 0$ . Puedes ver esto sustituyendo $v(r)=f( \sqrt {w}r)$ en su ecuación para obtener $$ r^2 wf''( \sqrt {w}r)+r \sqrt {w}f'( \sqrt {w}r)-wr^2 f( \sqrt {w}r) = 0 \\ ( \sqrt {w}r)^2 f''( \sqrt {w}r)+( \sqrt {w}r)f'( \sqrt {w}r)-( \sqrt {w}r)^2 f( \sqrt {w}r) = 0 \\ s^2 f''(s)+sf'(s)-s^2f(s) = 0,\;\; s = \sqrt {w}r. $$ Este es un truco estándar usado para estudiar la ecuación de Bessel. La conclusión es que, si conoces una solución $f(r)$ de su ecuación donde $w=1$ Entonces $y(r)=f( \sqrt {w}r)$ es una solución de su ecuación para un general $w > 0$ .

La ecuación reducida es muy cercana a la ecuación reducida de Bessel del orden $0$ que es $$ \rho ^2 R''( \rho )+ \rho R'( \rho )+ \rho ^2 R( \rho ) = 0. $$ El único cambio obvio entre tu ecuación y la ecuación reducida de Bessel es el cambio de signo para el $R$ término. Las soluciones de la ecuación de Bessel se extienden hasta el plano complejo, que es algo que hay que saber para que tenga sentido una sustitución con $i= \sqrt {-1}$ en ella. Lo que realmente estás haciendo es resolver la ecuación anterior para una función que es holomórfica en el plano cortado $\{ re^{i \theta } : - \pi < \theta < \pi , r > 0 \}$ . Sabiendo que tal solución existe, entonces puedes reemplazar $ \rho $ por $iz$ y la ecuación seguirá siendo válida por el principio de identidad para las funciones holomórficas. Sin embargo, diría que la idea de que puedes hacer una sustitución $ \rho = it$ para $t > 0$ no tiene sentido sin saber mucho sobre las soluciones de la ecuación, y sobre la Teoría de la Función Compleja. Francamente, creo que tratar esto como una "sustitución" es una chapuza de matemáticas, pero esa es mi opinión. Sin embargo, sabiendo que hay soluciones que son holomórficas en el plano cortado, puedes sustituir $ \rho = it$ donde $t$ es real, y la ecuación resultante debe continuar manteniéndose, es decir, $$ (it)^2 R''(it)+(it)R'(it) + (it)^2 R(it) = 0 \\ t^2 \frac {d^2}{dt^2}R(it)+t \frac {d}{dt}R(it)-t^2R(it)=0 $$ Eso es, $S(t)=R(it)$ satisface $$ t^2 S''(t)+tS'(t)-t^2 S(t) = 0, $$ que es su ecuación reducida.