Valor de Shapley: una representación alternativa

Question

Creo que la representación más común del valor de Shapley viene dada por $$ \phi_i(v)=\sum_{S\subseteq N-i} \frac{|S|!(|N|-|S|-1)!}{|N|!}(v(S\cup\{i\})-v(S)) $$ donde $v \in \mathbb{R}^{L(N)}$ es un juego de coalición en el conjunto de jugadores finito $N$ y $i\in N$ . (Nota $L(N)=\{S|S\subseteq N \text{ and } S\ne\emptyset\}$ .)

Existe otra representación del valor de Shapley, que se afirma que es equivalente a la anterior, dada por $$ \phi_i(v)=\sum_{S\subseteq N-i} \frac{|S|!(|N|-|S|-1)!}{|N|!}(v(N\backslash S)-v(S)).$$ (Véase R. B. Myerson, Teoría de los juegos , 1991, p.441, y también una nota en línea aquí en la página 10).

Francamente, no veo cómo estas dos fórmulas son iguales. Una condición suficiente ingenua pero natural para que sean equivalentes es que $v(S\cup\{i\})=v(N\backslash S)$ Lo cual no es generalmente cierto. ¿Puede alguien aclararme? Gracias.

Answer 1

La pieza con $v(S \cup \lbrace i \rbrace)$ en la primera fórmula, es igual a lo mismo con $v(N \backslash T)$ donde $T$ es el complemento de $S$ en $N - \lbrace i \rbrace$ . La suma puede ser indexada por $T$ en lugar de $S$ y dará el mismo resultado, porque el peso de $S$ y $T$ (la expresión con factoriales) es la misma por la ecuación ${{N-1} \choose |S|} = {{N-1} \choose {N - 1 - |S|}}$ .

El segundo término, con " $ - v(S)))$ ", es el mismo en ambas fórmulas.