¿Por qué debo considerar el % de componentes $j^2$y $k^2$ $=-1$ en la búsqueda de quaternions?

Question

Estoy leyendo un artículo acerca de Hamilton y el descubrimiento de los cuaterniones y explica por qué fracasó en su "teoría de los trillizos' donde trató de hacer un vector con $3$ dimensiones, como una analogía con el campo complejo, donde podemos ver un número de $2$ dimensiones del vector.

En este papel, él explica por qué es imposible crear un campo con $3$ componentes, que es una extensión del complejo campo (en otras palabras, se respeta la adición y la multiplicación de la misma manera...). Aquí está:

Como se puede ver, pasa a través de todas las posibilidades y demuestra que es imposible.

El papel, sin embargo, no explica por qué los $j^2=-1$. Podría ser cualquier cosa! Por qué $-1$?

El artículo en sí es bastante intuitivo, pero este aspecto de la vida me mata.

Más adelante, en el artículo, se dice que deberíamos considerar la posibilidad de un 4º componente llamado $k$, de tal manera que $k^2=-1$ ($i$$j$ también).

Aquí es el papel

EDIT: este documento resultó ser muy útil

Answer 1

A mí me parece que podemos lograr una contradicción más rápidamente sin asumir de esta manera: Desde $(1, i, j)$ es una base para el campo, $ij = a + bi + cj$ para algunos únicas $a, b, c \in \mathbb{R}$. Entonces, por un lado $i^2 j = -j$, y por el otro, es

$i(ij) = i(a + bi + cj) = -b + ai + c(ij) = -b + ai + c(a + bi + cj) = (-b + ac) + (a + bc)i + c^2 j .$

La comparación de los coeficientes de la $j$ plazo da ese $c^2 = -1$, lo cual no es cierto para cualquier $c \in \mathbb{R}$.

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De todos modos, la cuestión no es, ciertamente, un ocioso uno: de Hecho, conduce a algo muy interesante, al llevar a cabo este tipo de análisis para las cuatrodimensiones de álgebras de más de $\mathbb{R}$, que famosamente se obtiene el álgebra de cuaterniones $\mathbb{H}$ (NB que desde $\mathbb{H}$ no es conmutativa, no es un campo, pero una división de álgebra).

Curiosamente, también se puede tratar de construir un álgebra de tomar $i^2 = -1$ pero $j^2 = k^2 = 1$ y encontrar allí una coherente e interesante manera de definir un asociativa del producto, dando un álgebra $\widetilde{\mathbb{H}}$ a veces llamada la división cuaterniones. Este es quizás nonobviously isomorfo (como $\mathbb{R}$-álgebra) en el anillo de $M(2, \mathbb{R})$ $2 \times 2$ real de las matrices. A diferencia de $\mathbb{H}$ esto no es un anillo de división (hay distinto de cero matrices cuadradas a la matriz cero), pero como $\mathbb{H}$ tiene una degenerada forma cuadrática $Q$ que satisface $Q(xy) = Q(x) Q(y)$, es decir, el determinante.

Answer 2

No sé si esto es lo que Hamilton tenía en mente, pero: supongamos que usted ha decidido que lo que quieres hacer es escribir una división de álgebra $D$ $\mathbb{R}$ más grande que el de los números complejos $\mathbb{C}$. Cualquier elemento $d \in D$ $D$ genera una subalgebra $\mathbb{R}[d]$ $D$ que es una propiedad conmutativa de la división de álgebra (en otras palabras, un campo) $\mathbb{R}$ y por lo tanto (debido a $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado) debe ser isomorfo a $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$.

Si $d \not \in \mathbb{R}$, entonces este subalgebra $\mathbb{R}[d]$ debe ser isomorfo a $\mathbb{C}$. Cualquier isomorfismo se da cuenta de $d$ como un complejo número de $a + bi, b \neq 0$, y, por tanto, a un verdadero cambio de coordenadas bien podría haber escogido $d$ corresponden a $i$ bajo este isomorfismo; es decir, para satisfacer $d^2 = -1$. Con un poco más de trabajo este argumento muestra que el $D$ es generado por los elementos que la plaza de a $-1$.