Si$f$ es convexo, ¿es$f^{-1}$ cóncavo?

Question

Si$f:[0,+\infty)\to [0,+\infty)$ es una función biyectiva convexa, ¿es$f^{-1}$ una función cóncava? ¿O bajo qué condiciones$f^{-1}$ es cóncavo?

Editar:

¿Qué pasa con una función biyectiva general$f:[a,b]\to[c,d]$ bajo cualquier condición tendremos$f$ convexo luego$f^{-1}$ cóncavo

Muchas gracias

Answer 1

La gente ha dicho que si$f$ es convexo y aumenta, entonces sí. Si$f$ es convexo y una bijección (de$[0,\infty)$ a sí mismo), entonces está aumentando:

Dado que$f$ es continuo en$(0,\infty)$, si tuviéramos$f(a)=0$ y$a>0$ entonces$f$ no podría ser una bijección. Asi que $f(0)=0$. Ahora, la convexidad implica que la función$f(x)/x$ está aumentando, por lo tanto,$f$ está aumentando.

Answer 2

Como$f$ es convexo entonces es continuo. Dado que$f$ es inyectivo, debe estar aumentando o disminuyendo. Si$f$ está aumentando, entonces la respuesta es sí. Tenga en cuenta que en ese caso$f^{-1}$ también está aumentando.

Prueba: Diga$$f(tx_1+(1-t)x_2)\leq tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$ $ Deje$y_i = f(x_i)$, luego$$(f(tx_1+(1-t)x_2))\leq f^{-1}(tf(x_1)+(1-t)f(x_2))$ $ así que$$tx_1+(1-t)x_2\leq f^{-1}(ty_1+(1-t)y_2)$ $ Ahora, desde$x_i = f^{-1}(y_i)$ finalmente tenemos:$$tf^{-1}(y_1)+(1-t)f^{-1}(y_2)\leq f^{-1}(ty_1+(1-t)y_2)$ $ y estamos hecho.

Answer 3

No siempre es que lo inverso de una función convexa es convexo. Por ejemplo, si$f(x)=\frac{1}{x}$ entonces$f^{-1}(x)=\frac{1}{x}$. Ambos son convexos.

De hecho, si$f(x)$ es convexo y aumenta, entonces$f^{-1}(x)$ es cóncavo. Matemáticamente, deje$a = f(x) \implies f^{-1}(a)=x$ y$b=f(y) \implies y=f^{-1}(b)$. Como$$f(\lambda x+(1-\lambda)y) \le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y), \tag{1}$ $ tenemos$$\lambda f^{-1}(a)+(1-\lambda)f^{-1}(b) \le f^{-1}\left(\lambda a+(1-\lambda)b\right). \tag{2}$ $ Aquí, he usado el hecho de que$f(x)$ está aumentando.

¿Puedes averiguar qué sucede cuando$f(x)$ es convexo y disminuye?

Answer 4

Lo siguiente usa la prueba de convexidad$f''>0$. Por lo tanto, no es una prueba "desde cero", sino que indica cómo van las señales de forma automática. Si$g:\>y\mapsto x$ es el inverso de$f:\>x\mapsto y$ entonces$f\bigl(g(y)\bigr)\equiv y$ y por lo tanto$f'\bigl(g(y)\bigr)\cdot g'(y)\equiv1$. De ello se deduce que$$f''\bigl(g(y)\bigr)g'^2(y)+f'\bigl(g(y)\bigr)g''(y)\equiv0\ ,$ $ por lo tanto$$g''(y)=-{f''(x)\over \bigl(f'(x)\bigr)^3}\ .$ $