Muestra que $z^{-1} = \frac { \bar z}{|z|^2}$

Question

Estoy atascado en esta pregunta, tengo la sensación de que la respuesta es muy sencilla, pero no puedo entenderla.

Pregunta: Considerando $z= x + iy$ muestra eso: $$z^{-1} = \frac { \bar z}{|z|^2}$$

Hasta ahora esto es lo que tengo: $ \bar z=x-iy$ y $|z|^2= x^2 + y^2$

Por lo tanto: $$ \frac1 {x+iy}= \frac {x-iy}{x^2 + y^2}$$

¿A dónde voy desde aquí? ¡Gracias!

Answer 1

PISTA: $$ \frac1z = \frac {1}{x+iy}= \frac {1}{x+iy} \cdot\frac {x-iy}{x-iy}= \dots ?$$

Answer 2

$ \frac {1}{z} = \frac { \overline {z}}{ \overline {z}} \frac {1}{z} = \frac { \overline {z}}{|z|^2}$ (ya que $z \overline {z} = |z|^2$ ).

Answer 3

Un inverso multiplicador $z^{-1}$ de un número $z$ se define como cualquier número con la propiedad que $z \cdot z^{-1}=1$ . Esto es fácil de verificar en este caso ya que $z \cdot z^*=|z|^2$ :

$$z \cdot\frac {z*}{|z|^2}= \frac {zz^*}{zz*}=1$$

Así que de hecho, su inverso multiplicador propuesto es, de hecho, un inverso multiplicador, y como es único podemos decir que

$$z^{-1}= \frac {z^*}{|z|^2}$$

Answer 4

El paso que te falta es multiplicar el lado izquierdo por $ \dfrac {x-iy}{x-iy}$ y luego ver que es igual al lado derecho.

Answer 5

Recordemos que por definición, $z^{-1}$ es el número tal que $z^{-1}z = 1$ .

Supongamos que $z \neq 0$ . Tienes eso

$ \bar {z}z = |z|^2$

Dividiendo ambos lados por $|z|^2$ (que no es igual a $0$ desde $z \neq 0$ )

$ \left ( \frac { \bar {z}}{|z|^2} \right ) z = 1$

Por lo tanto $ \frac { \bar {z}}{|z|^2}$ es un número cuyo producto con $z$ es $1$ . Satisface la definición de ser el inverso de $z$ .